Grawitacja

Astronomia jest najstarszą nauką przyrodniczą. Powstała wraz z formowaniem się społeczeństwa, w wyniku zaspokajania potrzeb życia codziennego takich jak rachuba czasu czy orientacja na lądzie i morzu. Systematyczne obserwacje astronomiczne wykonywano w celach ustalenia kalendarzowej rachuby czasu. Już w zamierzchłych czasach zauważono na niebie pięć planet, które zmieniały swoje położenie na niebie.

Według najdawniejszych poglądów Ziemia miała stanowić środek świata, przyjmowano przy tym, że ma ona kształt płaskiej tarczy. Jednak już w VI wieku p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie głosili, że Ziemia jest kulą niczym nie podpartą, znajdującą się w środku świata. Pogląd taki nosi nazwę poglądu geocentrycznego. Utrzymał się on aż do połowy XVI wieku.

Dopiero w okresie Odrodzenia poglądy te uległy zmianie. Rok 1543, w którym Mikołaj Kopernik (fot.1) opublikował swoje dzieło De Revolutionibus (O Obrotach), był epokowym momentem w rozwoju poglądów na budowę Wszechświata. W dziele tym uczony zawarł opracowaną przez siebie teorię heliocentryczną, przyjmującą, że centralnym ciałem Układu Planetarnego jest Słońce, a Ziemia wraz z planetami krąży wokół Słońca po orbitach eliptycznych, które można w przybliżeniu uznać za kołowe. Wielkie znaczenie teorii Kopernika polega przed wszystkim na stwierdzeniu, że Ziemia nie stanowi żadnego wyróżnionego miejsca we Wszechświecie, lecz jest jedną z planet obiegających Słońce.

 

Fot. 1. Mikołaj Kopernik

Astronomia od czasów Kopernika zaczęła się szybko rozwijać, a teoria heliocentryczna znalazła wielu zwolenników. Jednym z nich był Galileusz, który pierwszy w roku 1609 skierował lunetę na niebo. Jednak dopiero Johannes Kepler

( 1571 – 1630) teorię ruchów Ziemi i planet dookoła Słońca ujął je we właściwe prawa. Ukoronowaniem zaś teorii Kopernika stało się prawo powszechnego ciążenia wypowiedziane przez Newtona.

1.2. Prawa Keplera

Kepler prawa rządzące ruchami planet sformułował na podstawie wieloletnich własnych obserwacji nieba jak też obserwacji wykonanych przez innych uczonych, między innymi przez Tychona Brahego (1546 – 1601).

Pierwsze prawo Keplera zostało sformułowane następująco:

Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk (rys. 1).

Rys. 1. Elipsa – tor planety wokół Słońca.

Elementami krzywej nazywanej elipsą (rys. 1 ) są dwa punkty F₁ i F₂ nazywane ogniskami elipsy oraz mała i duża półoś elipsy.

Za średnią odległość planety od Słońca w jej ruchu po orbicie będziemy przyjmować wielką półoś a elipsy.

Drugie prawo Keplera brzmi:

Promień wodzący planety, czyli linia łącząca Słońce z planetą w równych odstępach czasu zakreśla równe pola (rys. 2).

lub inaczej

Prędkość polowa planety jest stała.

Rys. 2. prędkość polowa i prędkość liniowa w ruchu planety wokół Słońca.

Z drugiego prawa wynika, że w ciągu takiego samego czasu planety, gdy znajduje się bliżej Słońca przebywa dłuższą drogę, niż wtedy gdy jest od Słońca dalej. Wobec tego prędkość liniowa planety też się zmienia; większa jest w peryhelium z mniejsza w aphelium.

Na przykład Ziemia obiega Słońce po elipsie i jej prędkość liniowa zmienia się od 30,0 km/s do 29,3 km/s w zależności od tego czy jest bliżej czy dalej od Słońca.

Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania momentu pędu: duży promień to mała prędkość liniowa, gdy promień maleje to prędkość planety wzrasta.

m ^. v₁ ^. r₁ = m ^. v₂ ^. r₂

Trzecie prawo Keplera sformułował dopiero w dziesięć lat po ogłoszeniu dwóch pierwszych, a brzmi ono następująco:

Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.

Oznaczając okresy obiegu dwóch planet wokół Słońca symbolami T₁ i T₂ a ich średnie odległości symbolami a₁ i a₂ trzecie prawo Keplera możemy zapisać:

T₁² a₁³

[1] =

T₂² a₂³

 

Sformułowane w tej postaci III prawo Keplera umożliwia obliczenie rozmiarów orbity planety gdy znamy jej okres obiegu wokół Słońca, oraz okres obiegu Ziemi wokół Słońca i średnią odległość jaka dzieli Ziemię od Słońca.

---

2. Prawo powszechnego ciążenia

Newton wprowadził swoje słynne prawo ciążenia powszechnego na podstawie praw opracowanych przez Keplera – praw ruchu planet. Przed Newtonem sądzono, iż ruchy ciał niebieskich nie podlegają prawom fizyki, jakie obowiązują na Ziemi. To Newton pierwszy zrozumiał, że jest inaczej. Na podstawie trzech zasad dynamiki wysnuł następujące wnioski:

ponieważ planety obiegające Słońce po krzywych, więc musi na nie działać siła zakrzywiająca tor – siła dośrodkowa (siła przyciągająca ciało do Słońca),

źródłem sił przyciągających planety jest Słońce,

siła utrzymująca planety na orbitach powinna być odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca.

Newton pierwszy zwrócił uwagę, iż siła która każe jabłku spadać na Ziemię jest tą samą siłą, która każe planetom „spadać” na Słońce, a Księżycowi obiegać Ziemię po orbicie kołowej.

Skoro Ziemia przyciąga każde ciało, to zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, powinno ono również przyciągać Ziemię. Idąc tym tokiem rozumowania Izaak Newton wysnuł wniosek, że wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie , a siły działające między nimi nazwał siłami grawitacji lub siłami powszechnego ciążenia.

Prawo powszechnego ciążenia sformułował następująco:

Każde dwa ciała przyciągają się wzajemnie siłami grawitacji, których wartości sa wprost proporcjonalne do iloczynu mas tych ciał, a odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości między ich środkami (rys. 3).

m₁ ^. m₂

[2] F_g = G ^.

r²

gdzie:

m₁, m₂ – masy oddziaływujących ciał,

r - odległość między ich środkami,

G - stała grawitacji,

F_g - siła grawitacji.

 

Rys. 3. Siły grawitacji są siłami wzajemnego oddziaływania.

Rys. 4. Siła grawitacji maleje z kwadratem odległości. R – promień ziemi.

 

Wartość współczynnika proporcjonalności G jest równa

N ^. m²

G = 6,67 ^. 10^-11

kg²

Zrównania 2 wynika, że siła grawitacji bardzo szybko zmniejsza się w miarę oddalania się ciał (rys.4). Pomimo tego, że planety znajdują się bardzo daleko od Słońca to olbrzymie masy Słońca i planet powodują jednak, że siły grawitacyjne przyjmują bardzo duże wartości.

Potęgę sił grawitacyjnych zilustrujemy na następującym przykładzie: gdyby pomiędzy Ziemią i Księżycem nie było sił przyciągania, wówczas, aby utrzymać Księżyc na orbicie okołoziemskiej, trzeba by go umocować na konopnej linie grubości ponad 500 km! Na takiej potężnej, a niewidzialne, uwięzi przechodzącej przez przestrzeń kosmiczną Ziemia utrzymuje Księżyc.

Dla ciał o niewielkiej masie, z jakimi mamy do czynienia, siła ciężkości jest znikomo mała. Na przykład dwa wagony kolejowe są przyciągane do siebie wzajemnie z odległości

10 m siła tak mała (milionowe części niutona), że nie wystarczy nawet do zerwania pajęczyny.

Prawo powszechnego ciążenia może być wykorzystane do obliczania masy np. Słońca. Przeanalizuj tok rozumienia zaproponowanego niżej zadania.

 

Pytania i zadania

1. Jakiego kształtu są orbity planet?

2. Co znajduje się w jednym z ognisk elipsy?

3. Prędkość planety na orbicie okołosłonecznej nie jest jednakowa. Planeta ma ..........................

prędkość liniową w aphelium a .................................... w peryhelium.

4. Przy tak dużych odległościach dzielących obiekty astronomiczne we Wszechświecie wprowadzono w astronomii specjalną jednostkę astronomiczną – 1 AU (w skrócie). Ile kilometrów ma 1 AU?

5. Ile wynosi średnia odległość od Słońca planety Mars wiedząc, że obiega ona Słońce w czasie T_M = 1,8809 roku? Zakładamy, iż dane dotyczące Ziemi są nam znane.

6. Okres obiegu Marsa wokół Słońca oznaczymy symbolem T_M, Ziemi – symbolem T_Z, Średnią odległość Marsa od Słońca oznaczymy symbolem a_M , Ziemi – a_Z.

7. Oblicz średnią odległość Wenus od Słońca, jeżeli czas jej obiegu wokół Słońca wynosi T _W = 0,6152 roku. Dane o Ziemi znajdują się w zadaniu o Marsie.

8. Wszystkie ciała przyciągają się siłami ...................................................................................... .

9. Oblicz, jaka siłą przyciągają się wzajemnie dwa ciała o masach m₁ = m₂ = 10 ton, jeżeli odległość między nimi wynosi r = 10 m.

10. Jaka siłą przyciągają się dwie kule o masach m₁= m₂ = 1 kg każda, jeżeli odległość między nimi wynosi r = 1m?

11. Oblicz masę Słońca jeżeli wiadomo, że siła grawitacji, jaką wywiera Słońce na Ziemię, stanowi siłę dośrodkową utrzymującą Ziemię o masie m₂ = 6 ^. 10²⁴ kg na orbicie okołosłonecznej o promieniu r = 15 ^. 10²⁴ m (150 mln km).

12. Oblicz siłę wzajemnego przyciągania pomiędzy Słońcem i Ziemią. Dane wyszukaj w treści lekcji.

 

Wiesz, że dwa niewielkie ciała (o małych masach) oddziaływają na siebie bardzo małymi siłami. Jednak gdy masa przynajmniej jednego z przyciągających się ciał jest dostatecznie duża, to siła grawitacji jest łatwa do zaobserwowania. Ziemia właśnie z powodu stosunkowo dużej masy przyciąga wszystkie ciała. Codziennie doświadczasz skutków działania sił grawitacji pochodzących właśnie od Ziemi i nawet tego nie zauważasz.

Siłę z jaką Ziemia przyciąga ciało będziemy nazywać ciężarem ciała lub siła ciężkości.

Ciężar oznaczymy symbolem Q i wyrazimy następująco:

[3] Q = m ^. g

To specyficzne przyśpieszenie, z jakim spadają ciała tuz nad powierzchnią Ziemi nazywamy przyśpieszeniem ziemskim . Wynosi ono

m

g = 9,81

s²

(Podczas rozwiązywania zadań rachunkowych, dla ułatwienia obliczeń przyjmować będziemy

m

często przybliżoną jego wartość - 10 ).

s²

Skoro Ziemia przyciąga wszystkie ciała, to zgodnie z III zasadą dynamiki, ciała te powinny również przyciągać Ziemię (rys.5). Spadania Ziemi na ciało nie możemy obserwować ze względu na olbrzymie rozmiary Ziemi, a więc bardzo niewielką prędkość jej „spadania”

Rys. 5. Ziemia przyciąga ciało, a ciało przyciąga Ziemię.

Zatem ciężar ciała jest równy sile grawitacji

F_g = Q

czyli

M ^. m

G = = m ^. g

R²

gdzie:

M – masa Ziemi,

M. – masa ciała spadającego,

R – promień Ziemi,

G – przyspieszenie ziemskie.

 

 

Powiedzieliśmy, że ciężar ciała jest równy sile grawitacji. Stwierdzenie to nie do końca jest prawdziwe. Zastanówmy się dlaczego?

Pamiętaj, że Ziemia (tak jak karuzela) jest układem nieinercjalnym. Powodem tego jest jej ruch obrotowy wokół własnej osi. Dlatego też na każde ciał znajdujące się na powierzchni Ziemi działa oprócz sił grawitacji F_g także siła bezwładności F_b (rys. 6). Ciężar ciała jest wypadkową tych sił.

Rys. 6. Ciężar ciała nie zawsze jest równy sile grawitacji.

 

Na biegunach geograficznych ciężar ciała jest największy i równy sile grawitacji, bowiem tam F_b = 0

Na równiku ciężar ciała jest najmniejszy Q = F_g – F_b.

Jedynie na biegunach i równiku wektor siły ciężkości jest skierowany zgodnie z wektorem siły grawitacji.

Ponieważ ruch obrotowy Ziemi jest stosunkowo powolny, więc wartość siły bezwładnej jest w porównaniu z siłą grawitacji bardzo mała. Z tego właśnie powodu przyjmujemy często w przybliżeniu, że wartości sił są jednakowe : Q = F_g.

Pytania i zadania

1. Siłę z jaką Ziemia przyciąga ciała nazywamy ........................................................................... .

2. W jakim punkcie kuli ziemskiej ciężar ciała jest równy sile grawitacji?

3. Jak poruszałby się Księżyc gdyby został zatrzymany na orbicie okołoziemskiej?

4. Na równiku Ziemi zważono ciało za pomocą wagi szalkowej, a następnie sprężynowej i otrzymano identyczne rezultaty. Co wskażą wagi na biegunie?

5. Oblicz siłę z jaką Ziemia przyciąga Twoje ciało?

6. Oblicz swój ciężar na Marsie wiedząc, że przyśpieszenie na tej planecie jest mniejsze niż na Ziemi i stanowi 0,214 przyspieszenia ziemskiego?

3. Pole grawitacyjne i jego natężenie

Każde ciało o kreślonej masie zmienia wokół siebie właściwości przestrzeni, nadaje jej pewną własność. Mówimy, że ciało to wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne, w którym na inne ciała działa siła.

Polem grawitacyjnym nazywamy przestrzeń, w której na każde ciało działa siła grawitacji.

Jeżeli ciało o małej masie m (tzw. masa próbna) umieścimy w polu grawitacyjnym Ziemi, to zgodnie z prawem grawitacji zacznie działać na nie siła zwrócona w kierunku Ziemi

(rys. 7). Przybliżając ciało do Ziemi stwierdzamy, że wartość rośnie, a jej kierunek i zwrot nie zmienia się. Ciało to zakreśli linię, która nazywamy linią pola.

Rys. 7. Na ciało w polu grawitacyjnym Ziemi działa siła F skierowana pionowo w dół.

Linią sił pola grawitacyjnego nazywamy prostą, wzdłuż której działa siła.

Linii takich jest nieskończenie wiele, bowiem w każdym punkcie przestrzeni wokół ciała wytwarzającego pole (źródła pola) na umieszczone tam masy próbne działają siły grawitacji.

Rys. 8. Pole grawitacyjne a) centralne, b) jednorodne.

Linie te sięgają do każdego punktu Wszechświata (mają swój początek w nieskończoności) i biegną promieniście ku środkowi źródła pola (ku centrum). Takie pole nazywamy polem centralnym (rys. 8a).

W niewielkim obszarze pola grawitacyjnego ziemi linie sił pola grawitacyjnego możemy traktować jako proste równoległe (rys. 8b). Pole takie nazwiemy polem jednorodnym.

Wielkością fizyczną charakteryzującą pole grawitacyjne jest natężenie pola grawitacyjnego, które zdefiniujemy następująco:

Natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie przestrzeni jest równe stosunkowi siły grawitacyjnej działającej na umieszczone w tym punkcie ciało próbne, do masy tego ciała.

Natężenie pola grawitacyjnego oznaczymy symbolem γ (gamma) i zapisujemy:

→

→ F

[4] γ = m

 

Natężenie pola jest wektorem. Kierunek i zwrot wektora natężenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły grawitacji.

N

Jednostką natężenia pola jest 1

kg

Na podstawie równania 4 możemy uzyskać informację jak siła grawitacji działa w danym punkcie na jednostkę masy; jeżeli wartość siły będzie duża oznaczać to będzie, iż w danym punkcie istnieje pole grawitacyjne o dużym natężeniu.

Natężenie pola grawitacyjnego – jeszcze raz to podkreślamy – jest wielkością związana z danym punktem pola. Jeżeli umieścimy w tym punkcie niewielką masę, działać będzie na nią niewielka siła grawitacji, gdy umieścimy masę dużą – siła grawitacji będzie odpowiednio większa, ale natężenie pola grawitacyjnego .......w tym punkcie pola.

Wartość natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M obliczymy wstawiając do równania 4 wartość siły grawitacji wyrażonej wzorem

M ^. m

F_g = G ^. r²

i wtedy otrzymamy

M ^. m

G ^. r² G ^. M

γ = =

m r²

Wartość natężenia pola grawitacyjnego jest wprost proporcjonalna do masy źródła pola (M), a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości danego punktu pola od jego źródła ( r).

G ^. M

[5] γ =

r²

Równanie 5 pozwalające obliczyć natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie pola stosować możemy dla pola centralnego, w którym zarówno i wartość natężenia pola ulega zmianie (rys.9).

Rys. 9. Wektor natężenia w polu centralnym.

W jednorodnym polu grawitacyjnym natężenie pola we wszystkich punktach jest jednakowe (rys. 10). W każdym jednak przypadku związek natężenia pola z siłą działającą na ciało (równanie 4) jest słuszny.

Rys. 10. Wektor natężenia w polu jednorodnym.

 

Obliczając natężenie pola grawitacyjnego tuż przy powierzchni Ziemi otrzymaliśmy wynik 9,8 N/kg.

Lecz kg ^. m

N s² m

9,8 kg = 9,8 kg = 9,8 s²

Z obliczeń, wynika, że na powierzchni Ziemi i w jej pobliżu natężenie pola grawitacyjnego i przyśpieszenie ziemskie są sobie równe i wynoszą:

m

γ = g = 9,8

s²

Wiemy, już że w miarę oddalania się od źródła pola natężenie pola maleje; zmniejszać się będzie również wartość przyśpieszenia grawitacyjnego.

W każdym punkcie pola równość natężenia pola grawitacyjnego i przyśpieszenia grawitacyjnego jest zachowana (tabela 1).

Tabela 1. Przyśpieszenie ziemskie i natężenie pola grawitacyjnego względem powierzchni Ziemi.

Wysokość (m)	Przyśpieszenie ziemskie ( m/s2)	Natężenie pola grawitacyjnego (N/kg)
0 1 000 4 000 8 000 16 000 32 000 100 000 500 000 1 000 000 350 000 000	9,806 9,803 9,794 9,782 9,757 9,71 9,6 8,53 7,41 0,00271	9,806 9,803 9,794 9,782 9,757 9,71 9,6 8,53 7,41 0,00271

Mimo ich równości, nie należy utożsamiać tych dwu wielkości fizycznych. Natężenie pola charakteryzuje bowiem przestrzeń wokół źródła pola (Ziemi), zaś przyśpieszenie grawitacyjne jest cechą charakterystyczną ruchów, jakie ciała wykonują w tym polu.

Przyśpieszenie grawitacyjne jest więc wyznaczone przez natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie pola i nie zależy od własności ciał spadających (np. od masy, kształtu itp.).

 

Pytania i zadania

1. Na ciało umieszczone w polu grawitacyjnym działa .....................................................................

2. W jednorodnym polu grawitacyjnym linie sił pola grawitacyjnego są do siebie ................................

3. Jeżeli masa ciała wytwarzającego pole grawitacyjne wzrośnie 4 – krotnie, to natężenia pola grawitacyjnego w danym punkcie pola ...........................................................................................

4. Jak zmieni się natężenie w pewnym punkcie pola grawitacyjnego, jeżeli odległość tego punktu od źródła pola wzrośnie dwa razy?

5. Jaką wartość ma natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni Ziemi, jeżeli masa Ziemi wynosi M = 6 ^. 10²⁴ kg a jej promień R = 6370 km? Zakładamy, że Ziemia ma kształt kulisty.

6. Korzystając z danych w tabeli 1 oblicz ciężar ciała o masie m = 10 kg na powierzchni Ziemi i na wysokości 1000 km nad jej powierzchnią.

7. Na ciało o masie m = 1,5 kg umieszczone w pewnym punkcie pola działa siła grawitacji F_g = 6 N. Oblicz natężenie pola grawitacyjnego w tym punkcie.

4. Praca w polu grawitacyjnym

Jak pamiętasz, w takim polu linie sił są do siebie równoległe, równoległe są też do siebie kierunki sił grawitacji. Podczas przemieszczania ciała w jednorodnym polu zmiany odległości od środka Ziemi nie są duże i wartości siły grawitacji możemy uważać za jednakową w każdym punkcie. Dlatego też do obliczenia pracy możesz wykorzystać znane sposoby (Moduł 1, lekcja 10), a mianowicie

W = F ^. s lub W = F ^. s ^. cosα

oraz zależność pomiędzy pracą a energią potencjalną ciężkości (Moduł 1, lekcja 11).

W = ∆E_p czyli W = m ^. g ^. h₂ – m ^. g ^. h₁

Aby Cię o tym przekonać rozwiążemy zadanie o następującej treści:

Korzystać z tych zależności można jednak tylko wtedy, gdy podczas przemieszczania się (ściślej zmiany są tak niewielkie, że można je zaniedbać).

Podczas przemieszczania ciała na duże odległości siła działająca na ciało nie może być uważana za stałą. Zmienia się siła grawitacji oraz równoważąca ją w każdym punkcie pola siła zewnętrzna. Aby obliczyć prace w takich przypadkach, należy obliczyć średnią wartość siły na danym odcinku.

Rys. 11. Praca związana z przesunięciem ciała z punktu A do B nie zależy od kształtu drogi.

Wyobraź sobie, iż przesuwasz ruchem jednostajnym ciało o masie m z punktu A do b (rys. 11) w polu grawitacyjnym wytworzonym przez Ziemię o masie M. Jaką wykonasz pracę? Czy przesuwać będziesz ciało po najkrótszej drodze?

Praca

W = F_śr ^. s ^. cosα

ale

α = 0

czyli

cos0^o = 1

więc

W = F_śr ^. s

gdzie: s – długość odcinka AB, s = r_B – r_A.

Siła z jaka musisz działać na ciało będzie największa w punkcie A (najbliżej Ziemi – największa siła grawitacji). W miarę jak będziesz się oddalał od Ziemi malała będzie siła grawitacji, a więc i Twoja siła, która musi w danym punkcie pola równoważyć grawitację będzie mniejsza. Siła zmienia się, dlatego należy obliczyć średnią wartość siły na tym odcinku.

Udowodniono, że średnia wartość siły grawitacyjnej (a więc i siły zewnętrznej równoważącej siłę grawitacji) podczas przesuwania ciała między dwoma dowolnie wybranymi punktami pola wyrażona jest równaniem

G ^. M ^. m

F_śr =

r_A ^. r_B

znając wartość średnią siły grawitacji łatwo już obliczyć pracę

G ^. M ^. m

W = ^. (r_B - r_A)

r_A ^. r_B

lub po przekształceniu

1 1

[6] W_Z(A→B) = G ^. M ^. m ^. r_A r_B

gdzie:

W_Z(A→B) – praca wykonana przez siłę zewnętrzną przy przemieszczaniu ciała z A do

B,

M - masa ciała wytwarzającego pole,

m - masa przemieszczanego ciała,

r_A, r_B, - odległość początkowa i końcowa przemieszczanego ciała od środka źródła

pola.

Praca jaką wykonałeś przesuwając ciało z A do B zależy od masy źródła i masy ciała przesuwanego. Im masy są większe (lub jedna z mas) tym większą wykonasz pracę. Praca natomiast zupełnie nie zależy od długości grogi (od sposobu przemieszczania – patrz rys. 11) – możesz wybrać dowolną trasę pod warunkiem, że „start” (punkt A) i ”meta” (punkt B) będą znajdowały się w tej samej stałej odległości od źródła pola.

Praca wykonana w polu grawitacyjnym przez siłę zewnętrzną F = F_g podczas przemieszczania ciała ruchem jednostajnym zależy od masy źródła pola i masy danego ciała oraz zmiany odległości tego ciała od źródła, nie zależy natomiast od drogi, po której ciało się porusza.

Pole grawitacyjne nazywamy polem zachowawczym, ponieważ praca w tym polu nie zależy od drogi, po której porusza się ciało, a jedynie od końcowego i początkowego położenia ciała względem źródła pola.

5. Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego

Źródło pola (np. Ziemia) wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne. Jeżeli umieścimy w pewnym punkcie tego pola ciało o masie m, to ciało to będzie posiadać względem źródła pola energie potencjalną E_p.

Jeżeli ciało w punkcie B posiada energię potencjalną, którą oznaczymy symbolem E_pB (rys. 11), to gdy przesuniemy ciało to do punktu A (wykonując oczywiście pracę), energia potencjalna ciała ulegnie zmianie na E_pA. Praca jaką wykonamy będzie równa przyrostowi energii potencjalnej ciała.

 

W_Z(A→B) = ∆E_p

czyli

W_Z(A→B) = E_pA – E_pB

Z drugiej strony na podstawie równania 6 możemy obliczyć praca wykonana przy przesuwaniu ciała z punktu B do A wynosi

1 1

W_Z(A→B) = - G ^. M ^. m ^. -

r_A r_B

Znak minus oznacza, że siła zewnętrzna skierowana jest przeciwnie do kierunku przemieszczania się ciała.

Wobec tego

1 1

- G ^. M ^. m ^. - = E_pA - E_pB

r_A r_B

Przesuńmy teraz punkt B na odległość nieskończenie dużą od źródła pola.

Wówczas

1

- G ^. M ^. m ^. = E_pA - E_p∞

r_A

1

gdyż przy r_B → ∞ r_B → 0

Umówmy się teraz (tak umówili się wszyscy fizycy), że energia potencjalna ciała w odległości nieskończenie dużej od źródła pola jest równa zeru, czyli E_p∞ = 0

Po uwzględnieniu założenia, że E_p („w nieskończoności) = 0 otrzymujemy wyrażenie określające energię potencjalną ciężkości w centralnym polu grawitacyjnym.

G ^. M ^. m

E_pA = r_A

lub ogólnie

G ^. M ^. m

[7] E_p = -

r

Energia potencjalna ciała w centralnym polu grawitacyjnym jest wprost proporcjonalna do masy źródła pola i masy tego ciała, a odwrotnie proporcjonalna do odległości tego ciała od źródła pola. Energia jest liczbą ujemną.

E_p = W _{∞ → r}

Energia potencjalna ciała w dowolnym punkcie pola jest równoważna pracy, jaką wykona nad ciałem siła zewnętrzna przemieszczając je z nieskończoności do tego punktu.

Drugą wielkością charakteryzującą pole grawitacyjne (pierwsza to natężenie pola grawitacyjnego) jest potencjał grawitacyjny, który zdefiniujemy następująco:

Potencjałem grawitacyjnym pola grawitacyjnego w danym punkcie nazywamy stosunek energii potencjalnej, jaką ma w tym punkcie umieszczone tam ciało, do masy tego ciała.

Potencjał oznaczymy symbolem V i wyrazimy:

E_p

[8] V =

m

Pytania i zadania

1. Jaka pracę należy wykonać, aby ciało o masie m = 10 kg podnieść ruchem jednostajnym z powierzchni Ziemi na wysokość h = 10m ?

2. Dla jakiego pola grawitacyjnego stosować możemy wzór W = m ^. g ^. h ?

3. Jak postąpić wtedy, gdy przemieszczenie ciała w polu grawitacyjnym wiąże się z dużymi zmianami odległości od środka Ziemi?

4. Przy przesuwaniu ciała ruchem jednostajnym z punktu A do B wykonano prace W = 4 ^. 10⁵J (rys. 11). Jaką prace wykonano przy przesuwaniu tego samego ciała z punktu B do A ?

5. Oblicz prace wykonaną podczas podnoszenia ciała o masie m = 1 kg z powierzchni Ziemi na wysokość h = R (promień Ziemi) nad jej powierzchnię. Masa Ziemi M = 6 ^. 10²⁴ kg, promień Ziemi R = 6400 km.

6. Jaka pracę wykonano przenosząc ruchem jednostajnym ciało o masie m = 1 kg z powierzchni Ziemi w nieskończoność ?Potrzebne dane znajdź w treści lekcji.

7. Podnosząc ciało z powierzchni Ziemi na wysokość h = 20 m wykonano pracę W = 2000J. Oblicz masę tego ciała i jego ciężar.

8. Przesuwając ciało ruchem jednostajnym z nieskończoności w pobliże powierzchni Ziemi wykonano pracę W = -2 ^.10⁸ J. Jaką energię potencjalną ma ciało w tym punkcie względem Ziemi?

9. Ciało o masie m umieszczone w pewnej odległości od Ziemi posiada energię potencjalną. Jak zmieni się energia potencjalna tego ciała, jeżeli umieścimy je w takiej samej odległości od Słońca?

10. Oblicz energię potencjalną Ziemi zakładając, że znajduje się ona jedynie w polu grawitacyjnym Słońca i porusza się po okręgu o promieniu r = 150 mln km.