Materia i ciepło

Pamiętasz z pewnością ze szkoły podstawowej, że każde ciało może występować w trzech stanach skupienia – stałym, ciekłym i lotnym. Przypomnijmy teraz, jak definiowaliśmy poszczególne stany skupienia. Ciała stałe to takie ciała, które posiadają swój własny kształt i objętość. Aby zmienić ich kształt lub objętość należy podziałać na nie siłą. Ciała te mają sprężystość postaci (kształtu) i objętości. Ciała stałe charakteryzują się dużą gęstością. Ciecze nie posiadają swego kształtu lecz przyjmują kształt naczynia, w którym się znajdują. Nie posiadają więc sprężystości postaci. Ciecze mają tylko własna objętość a więc i sprężystość objętości.

Gazy zamknięte w naczyniu wypełniają całkowicie jego objętość. Gazy nie posiadają ani swojego kształtu ani objętości. Posiadają jednak sprężystość objętości. Objętość gazu bardzo łatwo można zmienić – są one bardziej ściśliwe niż ciecz, a gęstość gazu nie poddanego działaniu dużego ciśnienia jest mniejsza od gęstości cieczy i ciał stałych.

 

Gęstość substancji definiujemy następująco:

Gęstość jest równa stosunkowi masy ciała do jego objętości.

 

m

[1] r = ¾

V

gdzie;

r – gęstość substancji,

m – jej masa,

V – objętość substancji.

kg

Jednostką gęstości jest 1¾ ¾

m³

W tabeli 1 zamieściliśmy gęstości przykładowych ciał we wszystkich stanach skupienia w warunkach normalnych tzn. w temperaturze 0ºC i ciśnieniu 101 325 Pa (paskali).

Tabela 1. Gęstości wybranych substancji w różnych stanach skupienia.

Gazy stałe	kg r (¾ ¾ ) m³	Ciecze	kg r (¾ ¾ ) m³	Gazy	kg r (¾ ¾ ) m³
korek	0,2·10³	alkohol ety- lowy	0,7·10³	wodór	0,0899
lód	0,9·10³	nafta	0,8·10³	hel	0,178
aluminium	2,7·10³	oliwa	0,9·10³	powietrze	1,293
żelazo	7,8·10³	woda	11,3·10³	tlen	1,429
ołów	11,3·10³	gliceryna	1,2·10³	dwutlenek węgla	1,978
złoto	19,3·10³	brom	3,12·10³	ozon	2,144
iryd	22,4·10³	rtęć	13,6·10³	chlor	3,214

Analizując tabelę zwróć uwagę na to, że gęstość gazu w warunkach normalnych jest bardzo mała – około tysiąc razy mniejsza od gęstości cieczy i ciał stałych.

Omówione własności ciał stałych, cieczy i gazów dotyczą ciała jako bryły zbudowanej z materii. Jeżeli nie interesuje nas jaka jest wewnętrzna struktura tych substancji, to mówimy o własnościach makroskopowych. Własności te jednak wypływają z wewnętrznej – mikroskopowej budowy ciał.

W ciałach stałych atomy są tak ułożone, że tworzą uporządkowane struktury przestrzenne zwane kryształami. Jeżeli całe ciało lub jego znaczna część tworzy jeden duży kryształ, to nazywamy go monokryształem. Charakteryzują się one wyraźnie zarysowanymi krawędziami i kątami. Przykładami takich ciał mogą być sól kuchenna, kalcyt, diament, kwarc, kryształ górski.

W normalnych warunkach większość ciał stałych nie tworzy jednak monokryształów tylko struktury polikrystaliczne. Zbudowane są one z bardzo wielu maleńkich kryształków. Wszystkie metale są ciałami polikrystalicznymi.

Część ciał takich jak smoła, szkło nie ma uporządkowanej struktury wewnętrznej – mówimy że są bezpostaciowe lub amorficzne.

Cząsteczki w ciałach stałych praktycznie nie przemieszczają się, są ze sobą mocno związane siłami oddziaływania międzycząsteczkowego. Siły te są siłami odpychania, gdy usiłujemy ściskać ciało lub siłami przyciągania podczas rozciągania ciał stałych. Cząsteczki wykonują tylko drgania wokół położenia równowagi.

 

 

Rys. 1. Model sieci krystalicznej soli kuchennej (NaCl).

Rysunek 2 pokazuje model struktury kryształu. Kulki symbolizują tu atomy lub cząsteczki, sprężynki ¾ wiązania między nimi. Zakłócenie równowagi którejkolwiek z kulek wywołuje drgania kulek sąsiednich.

 

Rys. 2. Model struktury kryształu.

Ciecze podobnie jak ciała stałe zbudowane są z cząsteczek, które oddziaływują na siebie pewnymi siłami. Siły te są jednak dużo mniejsze niż w ciałach stałych i pozwalają na swobodne wzajemne przemieszczanie się cząsteczek cieczy zachowując stałą objętość. Ciecz jest mało ściśliwa, bowiem zmniejszaniu lub zwiększaniu objętości cieczy towarzyszy pojawienie się dodatkowych sił międzycząsteczkowych stawiających bardzo duży opór.

Ciecz jest stanem pośrednim między ciałem stałym a gazem. We Wszechświecie ciecz może występować tylko w niewielkich odległościach od gwiazd (patrz moduł 3). W przestrzeni kosmicznej gdzie zimno ¾ woda przechodzi w lód, a wewnątrz gwiazd gdzie panuje wysoka temperatura wielu milionów stopni ¾ istnieje stan plazmowy.

Gaz jest takim stanem skupienia, który występuje zarówno w wysokich jak i w niskich temperaturach. Cząsteczki gazu w porównaniu z cieczami i ciałami stałymi maja największą swobodę ruchu. Poruszając się bezładnie w zamkniętym naczyniu poza chwilami zderzeń zupełnie na siebie nie oddziaływują. Ruch ten sprawia, że gaz natychmiast wypełnia dokładnie całą dostępną przestrzeń. Bardzo łatwo można sprężać gaz jak i rozprężać.

Po omówieniu właściwości ciał w różnych stanach skupienia i ich budowy mikroskopowej możemy powiedzieć, że mimo istotnych różnic między ciałami w trzech stanach skupienia, wykazują one wiele wspólnych cech i właściwości. Na tej podstawie stworzono teorię kinetyczno-molekularną materii, której zadaniem jest wyjaśnienie struktury całej materii oraz wszystkich jej właściwości.

Teoria ta opiera się na następujących założeniach ogólnych:

ciała zbudowane są z drobnych elementów w postaci atomów lub cząsteczek,

elementy budowy ciał są w ciągłym ruchu,

pomiędzy poszczególnymi elementami budowy ciał występują siły wzajemnego oddziaływania, które gwałtownie maleją ze wzrostem odległości między cząsteczkami czy atomami ciała.

Dyfuzja i ruchy Browna, a także zjawisko rozprężania się gazów (zjawiska znane Ci ze szkoły podstawowej) są doświadczalnymi dowodami potwierdzającymi założenia kinetyczno-molekularnej teorii budowy materii.

 

Wiesz już, że wszystkie ciała niezależnie od tego w jakim stanie skupienia się znajdują zbudowane są z cząsteczek będących w ciągłym ruchu. Cząsteczki te posiadają więc energię kinetyczna. Im większa jest średnia energia kinetyczna ruchu postępowego pojedynczej cząsteczki, tym wyższa jest temperatura ciała.

Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej cząsteczek.

Między średnia energią kinetyczną E_k,śr i temperaturą zachodzi proporcjonalność

[2] E_k,śr = C · T

gdzie C jest wielkością stałą,

 

Z równania 2 wynika, że istnieje taka temperatura, w której zamiera ruch cząsteczek

T = 0 ® E_k,śr = 0

Temperaturę tę nazywamy temperaturą zera bezwzględnego, a skalę na niej opartą skalą Kelvina. W skali tej nie ma temperatur ujemnych, nie można tez osiągnąć temperatury zera bezwzględnego.

W życiu codziennym temperaturę mierzymy w skali Celsjusza. Jest ona oparta na umowie, że za zero Celsjusza (0⁰C) przyjmujemy temperaturę topnienia lodu, a za 100⁰C temperaturę wrzenia wody.

Przy zachowaniu tej samej wielkości stopni w skalach Kelvina i Celsjusza, temperatura 0⁰C jest około 273⁰ wyższa od zera bezwzględnego (rys.3).

˚C K

100 373,15

0 273,15

-273,15 0

Rys. 3. Porównanie skali temperatur Celsjusza i Kelvina.

Możesz wobec tego temperaturę z jednej skali na drugą przeliczać według związku

[3] T = t + 273,15⁰

gdzie;

T – temperatura w skali Kelvina,

t – temperatura w skali Celsjusza.

Stopień w skali Kelvina nazywamy kelwinem i oznaczamy symbolem K.

Przy rozwiązywaniu zadań posługujemy się wzorem T = t + 273⁰ zaniedbując 0,15⁰.

 

Temperaturę mierzymy za pomocą termometrów, których działanie oparte jest na zmianie np. objętości cieczy, długości ciał stałych, oporu elektrycznego lub ciśnienia gazu w zamkniętym naczyniu pod wpływem zmiany temperatury. Najbardziej popularne są termometry cieczowe, w których pod wpływem zmiany temperatury zmianie ulega wysokość słupa cieczy w cienkiej rurce. Ciecz wypełniająca rurkę i zbiorniczek termometru nie styka się bezpośrednio z ośrodkiem, którego temperaturę chcemy zmierzyć ( np. temperaturę powietrza) lecz oddzielona od niego warstwą szkła. To, że temperatura rtęci jest taka jak temperatura powietrza wynika z zerowej zasady termodynamiki, która brzmi:

 

Jeżeli ciało A jest w równowadze termicznej z ciałem C i ciało B jest w równowadze termicznej z tym samym ciałem C, to ciała A i B są w równowadze termicznej (rys.4).

 

równowaga

A ¬ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ® C

termiczna równowaga

Þ A ¬ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ® B

równowaga termiczna

B ¬ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ® C

termiczna

 

Rys. 4. Zerowa zasada termodynamiki.

Aby zrozumieć pojęcie „równowaga termiczna” wyobraź sobie dwa ciała o różnych temperaturach zetknięte ze sobą. Wiesz zapewne co się stanie? Po pewnym czasie ich temperatury wyrównają się. Znając budowę ciał możesz wyjaśnić zjawisko wyrównywania się temperatur. Cząsteczki jednego i drugiego ciała poruszając się zderzają się między sobą i przekazują sobie nawzajem energie. Przekazywanie energii cząsteczkom posiadającym mniejszą energię kinetyczną odbywa się tak długo, dopóki średnie energie kinetyczne cząsteczek obu ciał nie będą równe.

 

Pytania i zadania

1. W jakim stanie skupienia ciała posiadają sprężystość kształtu, a w jakim sprężystości objętości?

2. Naczynie wypełniono całkowicie woda o masie m1 =4kg. Jaka masę będzie miała nafta, która wypełni to samo naczynie? Gęstość cieczy odczytaj z tabeli 1.

3. Oblicz masę blachy aluminiowej o wymiarach 2 mx4 m i grubości 2 mm.

4. Jaką objętość zajmuje masa m = 10 kg wody a jaką ta sama masa rtęci?

5. Jakim ruchem poruszają się cząsteczki ciała stałego?

6. Dlaczego tak trudno zmniejszyć objętość cieczy?

7. Co sprawia, że gaz zawsze wypełnia całą dostępną mu przestrzeń?

8. Co stałoby się z otworami zbiornikowymi wody (morza, oceany, jeziora itp.) gdyby cząsteczki wody zachowywały się tak jak cząsteczki gazu?

9. Miarą jakiej wielkości fizycznej jest średnia energia kinetyczna cząsteczek danej substancji?

10. Jeżeli cząsteczki wodoru i tlenu mają jednakową średnia energię kinetyczną, to co możemy powiedzieć o temperaturach tych gazów?

11. Jeżeli cząsteczki wodoru i tlenu maja taka samą średnia prędkość ruchu postępowego, to jaki związek zachodzi między temperaturami tych dwóch gazów?

12. Jeżeli mieszanina wodoru i azotu znajduje się w temperaturze T, to co możemy powiedzieć o prędkościach cząsteczek obu gazów?

13. Zamień na stopnie Kelvina: a) t = 10⁰C, b) t = 100⁰C, c) t = 40⁰C.

14. Zamień na stopnie Celsjusza: a) T = 10 K, b) T = 200 K, c) T = 403 K.

---

2. Pierwsza zasada termodynamiki.

Ciało, którego energia mechaniczna jest równa zeru, wbrew pozorom wcale nie jest pozbawione energii. Jego cząsteczki poruszają się przecież, a więc posiadają energię kinetyczną. W gazach i cieczach jest to energii kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek a w ciałach stałych energia kinetyczna ruchu drgającego. Cząsteczki, z których zbudowane są ciała posiadają również energię potencjalna wynikającą z wzajemnego oddziaływania siłami międzycząsteczkowymi. Możemy powiedzieć, że każde ciało ma energię wewnętrzną, która jest związana ze stanem wewnętrznym ciała. Stan ten nie zależy od posiadanej [przez całe ciało energii kinetycznej lub potencjalnej.

Energią wewnętrzną ciała nazywamy sumę wszystkich rodzajów energii jakie posiadają cząsteczki tego ciała.

Energię wewnętrzną oznaczamy symbolem U.

W przypadku gazu, którego cząsteczki nie oddziaływują między sobą energia wewnętrzna jest sumą energii kinetycznych wszystkich cząsteczek

U = n · E_k,śr

gdzie n oznacza liczbę cząsteczek gazu.

Korzystając z równania 2 otrzymujemy

U = n · C · T

Wynika z tego, że dla określonej masy gazu (n = const) jego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury gazu w skali Kelvina.

Badania wykazały, że w przypadku ciał w innych stanach skupienia ich energia wewnętrzna też rośnie wraz ze wzrostem temperatury.

Poznając właściwości energii, zwracaliśmy uwagę na jej niezniszczalność (zasada zachowania energii ¾ moduł 1). Mówiliśmy też o tym, że jedna forma energii może zamieniać się w drugą (swobodne spadanie ciała) lub być przekazana innemu ciału. Uwagi te dotyczą również energii wewnętrznej. Przykładem przemiany energii wewnętrznej w kinetyczną lub potencjalną może być unoszenie przykrywki garnka przez parę wodną.

 

Zastanowimy się teraz nad najprostszym i najpoważniejszym procesem termodynamicznym, jakim jest ogrzewanie i oziębianie ciał stykających się ze sobą. Przyjmiemy, że ciało A (rys.5) ma temperaturę T₁ > T₂. Co się stanie po zetknięciu obu ciał.

 

T₁ > T₂ i U₁ > U₂

U₁, T₁ Q U₁, T₁

A B

 

U₁, T₁ U₂, T₂

Rys. 5. Przekazywanie ciepła pod wpływem różnicy temperatur.

 

Sytuację taką omawialiśmy już i wiesz, że odbywał się będzie pomiędzy ciałami proces przekazywania energii. W wyniku tego procesu energia wewnętrzna ciała A obniży się o pewną wartość a ciała B o tą samą wartość wzrośnie. Ta porcja energii przekazana ciału B nazywana jest ciepłem. Możemy więc powiedzieć, że:

Ciepłem nazywamy tę część energii wewnętrznej, którą ciało o temperaturze wyższej przekazuje ciału o temperaturze niższej.

Ciało może oddawać lub pobierać ciepło gdy zetknie się z ciałem o innej temperaturze, a jego energia wewnętrzna zmieni się (zmaleje lub wzrośnie).

Przekazywanie ciepła nie jest jednak jedynym sposobem zmiany energii wewnętrznej ciała. Może ona ulec zmianie przez wykonanie pracy. Przykła- dów tego typu można znaleźć wiele. Podczas pompowania dętki rowerowej temperatura powietrza w pompce rośnie. Rośnie więc energia wewnętrzna powietrza na skutek wykonania nad nim pracy. Tocząca się po poziomej powierzchni kulka po pewnym czasie zatrzymuje się. Jej energia kinetyczna zamieniła się w energię wewnętrzną kulki i podłoża. W obu tych przypadkach możemy mówić o przyroście energii wewnętrznej ciał, chociaż nie stykają się one z ciałami o wyższych temperaturach.

Zmianę energii wewnętrznej ciała można osiągnąć przez:

wykonanie nad ciałem pracy,

dostarczenie ciału ciepła.

W ten sposób dochodzimy do sformułowania I zasady termodynamiki.

Zmiana energii wewnętrznej ciała jest równa sumie pracy wykonanej nad ciałem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem.

Wzorem wyrażamy ją w następujący sposób

[4] ∆ U = W + Q

gdzie:

∆ U – przyrost energii wewnętrznej ciała,

W – praca wykonana nad ciałem lub przez ciało,

Q – ciepło wymienione przez ciało z otoczeniem.

W równaniu 4 musimy przyjąć umowne znaki dla Q i W. Ciepło dostarczone ciału i pracę wykonaną nad ciałem przez siły zewnętrzne przyjmujemy jako dodatnie. Ciepło oddane przez ciało i prace przez nie wykonaną kosztem własnej energii wewnętrznej uważać będziemy za ujemne.

Rozpatrzmy kilka przykładów zastosowania tej umowy:

pompowanie dętki rowerowej

∆U = W gdy Q = 0

gotowanie

∆U = Q gdy W = 0

zziębnięty wchodzisz do ciepłego pomieszczenia i ogrzewasz ręce pocierając je o siebie

∆U = Q + W

chowasz potrawę do lodówki

∆U = Q gdy W = 0

ale teraz Q < 0, więc energia wewnętrzna maleje: ∆U < 0

pocierasz ręce o siebie na zimnym wietrze

∆U = W – Q

 

 

Pojęcie to znasz ze szkoły podstawowej. Pozwala ono obliczyć ilość ciepła przyjętego przez jedno ciało i straconego przez ciało drugie o innej temperaturze niż pierwsze w wyniku ich zetknięcia.

Bilans cieplny (równanie bilansu cieplnego) stwierdza, że ilość ciepła oddanego przez jedno ciało jest równa ilości ciepła pobranego przez ciało drugie (resztę ciał w otoczeniu).

Wartość ciepła (energii) dostarczonego ciału obliczamy według wzoru

[5] Q = c · m · ∆T

gdzie:

Q – ciepło pobrane lub oddane,

c – ciepło właściwe substancji,

m – masa substancji,

∆T – przyrost temperatury.

Przekształcając równanie 5 otrzymujemy

Q

c = ———

m • ∆T

J

Jednostką ciepła właściwego jest 1 ——— .

kg • K

Ciepłem właściwym nazywamy ilość energii potrzebnej do zwiększenia temperatury 1 kg masy substancji o jeden stopień (1 K).

Ciepło właściwe ma różne wartości dla różnych faz tej samej substancji.

Należy pamiętać, że dla lodu wynosi c_L = 2100 , wody c_w = 4200

i pary wodnej c_p = 1950 .

Ciepło właściwe dla niektórych substancji w stanie stałym i ciekłym przedstawiono w tabeli 2.

Tabela 2. Ciepło właściwe ciał stałych i cieczy.

Ciało stałe Ciecz	c = ()	Ciecz	c = ()
lód 2100 rtęć 139	2100	rtęć	139
żelazo 455 alkohol etylowy 2346	455	alkohol etylowy	2346
miedź 385 eter 2350	385	eter	2350
wolfram 134 woda 4200	134	woda	4200
ołów 126 gliceryna 2390	126	gliceryna	2390

 

 

Pytania i zadania

1. W naczyniu zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się gaz. Dostarczenie ciepła Q =1000 J spowodowało podniesienie tłoka do góry. Obliczono, że gaz wykonał przy tym pracę W = 400 J. Jak zmieniła się energia wewnętrzna gazu?

2. Oblicz pracę wykonaną przez gaz zamknięty w naczyniu z ruchomym tłokiem jeżeli dostarczono mu Q = 1000 J ciepła, a ubytek energii wewnętrznej gazu wyniósł ∆U 200 J.

3. Napisz odpowiednią postać pierwszej zasady termodynamiki dla następującego przypadku: po naciśnięciu zaworu zbiornika z gazem pod ciśnieniem stwierdziliśmy, że wylatujący gaz a niższą temperaturę.

4. Do wody o masie m_w = 10 kg i temperaturze t₁ = 20⁰C wrzucono kawałek żelaza o temperaturze początkowej t₂ = 100⁰C, na skutek czego temperatura wody wzrosła do t_k = 30⁰C. Oblicz masę żelaza. Ciepło właściwe substancji znajdziesz w tabeli 2.

5. Kawałek ołowiu o masie m = 2 kg rozpędzony do prędkości v = 60 m/s zderzył się z przeszkodą. W wyniku zderzenia 60 % energii mechanicznej ołowiu spowodowało jego ogrzanie. Ile ciepła należałoby dostarczyć, aby bez zderzenia uzyskać taki sam wzrost temperatury?

6. Ile ciepła należy dostarczyć, aby kawałek ołowiu o masie m = 0,2 kg ogrzać od temperatury t₁ = 0⁰C do t₂ = 20⁰C?

7. O ile stopni ogrzeje się podczas zderzenia z ziemią kawałek żelaza zrzucony z wysokości h = 100 m? Zakładamy, że połowa energii mechanicznej tej masy spowoduje wzrost energii wewnętrznej żelaza, a reszta ulegnie rozproszeniu.

8. Do zimnej wody o masie m₁ = 10 kg i temperaturze t₁ = 10⁰C dolano pewną ilość wody gorącej o temperaturze t₂ = 60⁰C. Oblicz masę gorącej wody, jeżeli końcowa temperatura wody w naczyniu wyniosła t_k = 20⁰C.

---

3. Gazy

Z pojęciem ciśnienia spotkałeś się w szkole podstawowej. Przypomnimy je tutaj.

Ciśnieniem nazywamy stosunek wartości siły nacisku do pola powierzchni, na którą ta siła działa.

Matematycznie zapis wygląda następująco

[6] p =

gdzie

p – ciśnienie,

F – siła nacisku,

S – pole powierzchni, na którą działa siła.

Ciśnienie informuje nas, jaka jest wartość siły działającej na pole powierzchni 1 m².

Ciśnienie mierzymy w paskalach (Pa).

N

1 Pa = ——

m²

Ciśnienie jest równe 1 paskalowi gdy siła 1 N działa prostopadle na powierzchnię 1 m².

 

[7] p = • • E_k,śr

gdzie:

p – ciśnienie gazu,

n – liczba cząsteczek gazu w zbiorniku,

V – objętość zbiornika,

E_k,śr – średnia energia kinetyczna cząsteczki.

 

 

Jeżeli w równaniu 7 Ek,śr zastąpimy równaniem 2 to otrzymamy

p = • • C • T

Przekształcając powyższą zależność dochodzimy do postaci

p • V 2

——— = — • n • C

T 3

Jeżeli w zbiorniku mamy stałą ilość cząsteczek gazu (gazu nie przybywa ani nie ubywa), co jest równoznaczne ze stałą masą gazu w zbiorniku, to jak widać prawa strona tej zależności

2

— • n • C = const

3

Tak więc dla stałej masy gazu możemy zapisać

[8] p • V

——— = const

T

lub

[9] p₁ • V₁ p₂ • V₂

——— = ———

T₁ T₂

 

Jest to tzw. równanie stanu gazu doskonałego.

 

Ciśnienie gazu (p), objętość(V) i temperaturę (T) nazywamy czynnikami lub parametrami stanu gazu. Do obliczenia wartości któregokolwiek z parametrów (gdy znamy pozostałe) korzystamy z równania stanu (wzór 8 lub 9).

 

p • V

Wartość wyrażenia ——— zależy od masy (ilości) gazu. Łatwo możemy ją

T

Obliczyć dla 1 mola gazu. Pamiętasz z chemii, że 1 mol każdego gazu w tzw. warunkach normalnych (T₀ = 273 K, P₀ = 101 325 Pa) zajmuje objętość V₀ = 22,41 = 0,0224 m³.

Wstawiając te wartości do równania 8 otrzymujemy

N

101325 —— • 0,0224 m³

p₀ • V₀ m²

——— = = 8,314 dla jednego

T₀ 273 K

mola gazu.

Obliczoną wartość oznaczamy symbolem R i nazywamy stałą gazową.

 

Zatem

R » 8,3

Dla jednego mola dowolnego gazu równanie 8 przyjmuje postać

p • V

——— = R

T

lub

p • V = R • T

a dla N moli gazu

[10] p • V = N • R • T

gdzie:

p – ciśnienie gazu,

V – objętość gazu,

N – liczba moli gazu,

R – stała gazowa,

T – temperatura gazu.

 

Równanie 10 uwzględnia już zmianę masy gazu podczas zmiany któregokolwiek z parametrów stanu gazu i nazywane jest równaniem Clapeyrona.

 

Pytania i zadania

1. Jednostką jakiej wielkości fizycznej jest paskal?

2. Na powierzchnię S = 1 m2 działa siła F = 100 N. Jakie ciśnienie wywierane jest na tę powierzchnię?

3. Jak zmieni się ciśnienie gazu w zbiorniku, jeżeli wzrośnie liczba cząsteczek gazu?

4. Jaką zmianę ciśnienia spowoduje wzrost objętości zbiornika, w którym gaz się znajduje?

5. Co stanie się z ciśnieniem gazu w wyniku jego ogrzania? Wytłumacz na podstawie równania7.

6. W dwóch jednakowych zbiornikach (V = const) znajduje się jednakowa ilość cząsteczek gazu (n = const) w tej samej temperaturze (T = const). W jednym zbiorniku znajduje się wodór a w drugim azot. Czy ciśnienie w obu zbiornikach będzie jednakowe?

7. W zamkniętym zbiorniku o objętości V₁ = 20 dm³ znajduje się gaz pod ciśnieniem p₁ = 2 • 10⁵N/m² i o temperaturze T₁ = 300 K. Oblicz ciśnienie tego gazu gdy jego temperatura wzrośnie do T₂ = 400 K, a objętość wzrośnie do V₂ = 15 dm³.

8. Pewnej stałej masie gazu zmieniono objętość z V₁ na 2 • V₁. Ciśnienie przy tym zmieniło się z p₁ na 3 • p₁. Jak zmieniła się temperatura gazu?

9. Jaka masa tlenu uciekła z butli o pojemności 25 litrów przez nieszczelny zawór, jeżeli w temperaturze 17˚C i 27˚C manometr pokazywał to samo ciśnienie p = 6 • 10⁵ Pa?

10. Jaka masa azotu znajduje się w butli o pojemności 25 litrów, jeżeli w temperaturze 27˚ ciśnienie wynosi 4 • 10⁶ Pa?

 

Aby określić stan fizyczny gazu należy podać trzy parametry: ciśnienie, objętość i temperaturę.

Wszystkie trzy parametry mogą ulegać zmianie, ale zgodnie z

p • V

równaniem stanu (równanie 8) iloraz ——— jest stały. Mogą zaistnieć

T

szczególne przypadki, w których jeden z parametrów nie zmienia się, natomiast zmianie ulegają dwa pozostałe parametry.

Przemianą izotermiczną będziemy nazywać taką zmianę stanu fizycznego gazu, w której temperatura pozostaje stała natomiast zmiana objętości gazu powodować będzie zmianę ciśnienia wywieranego przez gaz. Wtedy T₁ = T₂ i równanie 9

 

p₁ • V₁ p₂ • V₂

——— = ———

T₁ T₂

przyjmie postać

[11] p₁ • V₁ = p₂ • V₂

 

W izotermicznej przemianie stałej masy gazu, ciśnienie wywierane przez gaz na ścianki naczynia jest odwrotnie proporcjonalne do jego objętości.

Prawidłowość tę po raz pierwszy odkryli Robert Boyle i Edmund Mariotte i stąd nosi ona nazwę prawa Boyle’a-Mariotte’a.

Taka właśnie przemiana gazu (powietrza) dokonuje się w zakorkowanej

strzykawce lekarskiej, gdy tłok przesuwając tłok, sprężasz powoli w niej powietrze.

 

Zależność ciśnienia od temperatury w przemianie izotermicznej ilustruje rysunek 6.

 

P

 

 

V

Rys. 6. Izoterma — krzywa przedstawiająca zależność

ciśnienia od objętości w stałe temperaturze.

Jeżeli w przemianie izotermicznej temperatura gazu nie ulega zmianie to oznacza, że nie zmienia się również jego energia wewnętrzna, czyli ∆U =0. Wobec tego:

podczas sprężania gazu pracę nad gazem wykonuje siła zewnętrzna

(W > 0), ale gaz równoważną tej pracy ilość ciepła (energii) oddaje

otoczeniu (Q > 0). I zasada termodynamiki będzie miała postać

(porównaj z równaniem 4).

∆U = W – Q = 0

podczas rozprężania gazu wykonuje on pracę (W < 0), lecz w tym samym czasie pobiera z otoczenia równoważną tej pracy ilość ciepła (Q > 0). Wobec tego I zasada termodynamiki ma teraz postać

∆U = Q – W = 0

 

 

Jeżeli zmiana stanu fizycznego gazu zachodzi przy stałym ciśnieniu natomiast zmiana temperatury gazu powoduje zmianę jego objętości to mówimy, że gaz ulega przemianie izobarycznej. Z równania 9

p₁ • V₁ p₂ • V₂

——— = ———

T₁ T₂

zakładając, że p₁ = p₂ otrzymujemy

[12] T₁ = T₂

 

W izobarycznej przemianie stałej masy gazu, jego objętość jest wprost proporcjonalna do temperatury gazu w skali Kelvina.

Zależność ta wykryta doświadczalnie przez fizyka i chemika francuskiego Louis Gay-Lussaca nosi nazwę prawa Gay- Lussaca.

 

 

Zależność objętości gazu od temperatury w przemianie izobarycznej przedstawia rysunek7.

 

V

T

Rys. 7. Izobara – krzywa przedstawiająca zależność

objętości gazu od temperatury przy stałym ciśnieniu.

Z wykresu (rys. 7) wynika, że w temperaturze 0 K gaz nie zajmuje żadnej objętości (V = 0). Fakt ten wynika z założenia, że pomijamy objętości własne cząsteczek gazu doskonałego. Wzrost temperatury gazu powoduje wzrost energii kinetycznej jego cząsteczek. Ponieważ ciśnienie ma pozostać stałe rośnie więc odległość między cząsteczkami (rośnie energia potencjalna), rekompensując wzrost energii kinetycznej. Zmiana temperatury gazu powoduje zatem zmianę jego energii wewnętrznej:

podczas ogrzewania gazu rośnie jego objętość — gaz podnosząc tłok do góry wykonuje pracę zużywając część dostarczonego ciepła. Przyrost energii wewnętrznej gazu będzie wynosił

∆U = Q – W; ∆U > 0

podczas oziębiania gazu jego objętość maleje, maleje również energia wewnętrzna gazu. Wobec tego

∆U = W – Q; ∆U < 0

 

Pytania i zadania

1. Jaki parametr gazu nie ulega zmianie w przemianie izotermicznej?

2. Jeżeli przy stałej temperaturze objętość gazu zmniejszymy czterokrotnie to jak zmieni się ciśnienie tego gazu?

3. W naczyniu zawierającym powietrze i zamkniętym ruchomym tłokiem trzykrotnie zmniejszono objętość powietrza przy stałej temperaturze. Podczas tej czynności, wskutek nieszczelności tłoka uciekło trochę gazu. Czy można zastosować do tego procesu prawo Boyle’a – Mariotte’a?

4. W naczyniu o objętości V₁ = 20 dm³ znajduje się gaz pod ciśnieniem p₁ = 5 • 10⁵ Pa. Naczynie to połączono z pustym zbiornikiem o objętości V = 30 dm³. Oblicz jaki ciśnienie będzie wywierać gaz na ścianki połączonego naczynia, jeżeli jego temperatura nie uległa zmianie.

5. Zbiornik o pojemności 25 litrów zawiera gaz pod ciśnieniem p₁ = 10⁵ Pa. Gaz ten należy wtłoczyć do zbiornika o ∆U = 20 litrów mniejszego. Jakie ciśnienie będzie wywierać ten gaz po przepompowaniu, jeżeli jego temperatura nie ulegnie zmianie?

6. Jaki parametr gazu nie ulega zmianie w przemianie izobarycznej?

7. Jaką zmianę objętości gazu spowoduje dwukrotny wzrost jego temperatury przy stałym ciśnieniu?

8. Pod ruchomym tłokiem znajduje się gaz o objętości V₁ = 4 dm³ i temperaturze t₁ = 27˚C. O ile wzrosła temperatura tego gazu, jeżeli po ogrzaniu zajął on objętość a ciśnienie gazu nie zmieniło się?

9. Pod ruchomym tłokiem znajduje się gaz o temperaturze t₁ = 17˚C i objętości V₁ = 10 dm³. o ile wzrośnie objętość tego gazu, jeżeli przy stałym ciśnieniu jego temperatura wzrośnie o ∆t = 20˚C?

 

Zmiana stanu fizycznego gazu, w której objętość pozostaje stała natomiast zmiana temperatury powoduje zmianę ciśnienia gazu, nazywana jest przemianą izochoryczną. Z równania stanu gazu doskonałego

p₁ • V₁ p₂ • V₂

——— = ———

T₁ T₂

 

zakładając, że V₁ = V₂ otrzymujemy

p₁ p₂

[13] —— = ——

T₁ T₂

W izochorycznej przemianie stałej masy gazu, jego ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury gazu w skali Kelvina.

 

Zależność ciśnienia gazu od jego temperatury przy stałej objętości gazu nosi nazwę prawa Charles’a.

Graficzną interpretację równania 13 przedstawia rysunek 8.

P

 

 

T

Rys. 8. Izochora — linia przedstawiająca zależność ciśnienia gazu

od jego temperatury przy stałej objętości gazu.

W przemianie izochorycznej objętość gazu nie ulega zmianie, więc wzrost temperatury gazu powoduje wzrost energii kinetycznej jego cząsteczek. Rośnie wobec tego prędkość cząsteczek gazu oraz siła z jaką uderzają one w swym bezładnym ruchu o ścianki naczynia. Powoduje to wzrost ciśnienia gazu.

Jeżeli w przemianie tej nie ma zmiany objętości gazu, to oznacza, że ani gaz, ani siła zewnętrzna nie wykonują pracy (W=0). Z pierwszej zasady termodynamiki wynika zatem, że

podczas ogrzewania gazu rośnie jego energia wewnętrzna

∆U = Q i Q > 0 bo W = 0

 

 

podczas oziębiania gazu maleje jego energia wewnętrzna

∆U = Q ale Q < 0 i ∆U < 0

 

We wszystkich omawianych przemianach zachodziła wymiana ciepła z otoczeniem. Ponadto jeden z parametrów stanu gazu pozostawał stały, zmieniały się natomiast dwa pozostałe. Wyobraź sobie teraz naczynie izolowane cieplnie od otoczenia (np. termos).

Zmianę stanu fizycznego gazu, w której nie ma wymiany ciepła z otoczeniem nazywamy przemianą adiabatyczną.

Ze względu na brak wymiany ciepła z otoczeniem:

podczas adiabatycznego sprężania gazu jego energia wewnętrzna rośnie, co powoduje wzrost temperatury (rys. 9a). Na podstawie I zasady termodynamiki mamy

∆U = W ponieważ Q = 0 lecz W > 0 i ∆U > 0,

czyli przyrost energii wewnętrznej gazu jest równy wykonanej nad gazem pracy.

podczas adiabatycznego rozprężania gazu energia wewnętrzna gazu maleje, obniża się jego temperatura (rys. 9a)

∆U = W ponieważ Q = 0 lecz W < 0 więc i ∆U < 0.

Gaz wykonuje pracę kosztem własnej energii wewnętrznej.

 

Rys. 9. Adiabatyczne sprężanie (a) i rozprężanie (b) gazu.

W związku z niemożnością wymiany ciepła z otoczeniem, podczas przemiany adiabatycznej występują dwa czynniki powodujące zmianę ciśnienia gazu: zmiana objętości i zmiana temperatury.

Jeżeli gaz sprężamy adiabatycznie, to jego ciśnienie wzrasta szybciej niż podczas przemiany izotermicznej, gdyż spowodowane to jest zmniejszaniem się objętości gazu i dodatkowo wzrostem temperatury. Z tego właśnie powodu adiabaty są bardziej strome niż izotermy ( rys.10).

Rys. 10. Adiabatyczne zmiany ciśnienia są większe niż spowodowane

tą samą zmianą objętości izotermiczne zmiany ciśnienia.

 

Pytania i zadania

1. Jaki parametr gazu nie zmienia się w przemianie izochorycznej?

2. Jak zmieni się ciśnienie gazu w zamkniętym zbiorniku, jeżeli jego temperatura obniży się trzykrotnie?

3. Podczas ogrzewania gazu przy stałej objętości od temperatury T₁=300 K do T₂=500 K jego ciśnienie wzrosło o ∆p= 2 • 10⁵ Pa. Oblicz początkowe ciśnienie gazu?

4. Naczynie wypełnione powietrzem o temperaturze 0˚C i pod ciśnieniem p = 1 • 10⁵ Pa szczelnie zamknięto i włożono do wrzącej wody o temperaturze 100˚C. Oblicz ciśnienie powietrza wewnątrz naczynia.

5. Jaki warunek musi być spełniony, aby mogła zajść adiabatyczna przemiana gazu?

6. Jakie czynniki powodują spadek ciśnienia gazu podczas jego adiabatycznego rozprężania

7. Do pompowania dętki Używamy pompki rowerowej. Przesuwając tłoczek pompki napełniamy dętkę powietrzem. Powietrze w pompce może ulegać przemianie izotermicznej lub znacznie częściej adiabatycznej. Wytłumacz dlaczego.

---

4. Druga zasada termodynamiki

Omawiając energie mechaniczną oraz energię wewnętrzna doszliśmy do wniosku, że energia mechaniczna bez trudu może być zamieniana w energię wewnętrzną, a w większości przypadków taka zamiana jest nawet nieunikniona.

Zadajmy sobie pytanie: czy możliwe są procesy odwrotne? Czy możliwa jest zamiana energii wewnętrznej na energię mechaniczną?

Z punktu widzenia pierwszej zasady termodynamiki nie ma żadnych ograniczeń, by energia wewnętrzna dowolnego układu została zamieniona na energię mechaniczną. Praktyka wykazuje jednak, że zamiana energii mechanicznej na energię wewnętrzną jest sprawą dużo prostszą niż proces odwrotny. Ślizgające się po powierzchni ciało, bez naszej ingerencji, wskutek działania sił tarcia, zamienia swą energię kinetyczną na energię wewnętrzną. Natomiast gdy ciało to znajduje się w spoczynku, dostarczenie mu ciepła nie może spowodować jego ruchu.

Na to, by energia wewnętrzna lub ciepło mogła być zamieniana na energię mechaniczną konieczny jest przebieg określonych procesów fizycznych w specjalnych urządzeniach nazywanych silnikami cieplnymi.

Silnikiem cieplnym nazywamy urządzenie, które za pomocą odpowiednich substancji, zwanych substancjami roboczymi, jest zdolne do cyklicznej zamiany energii wewnętrznej na energię mechaniczną.

Do grupy silników cieplnych zaliczamy silniki i turbiny parowe, silniki i turbiny spalinowe oraz silniki odrzutowe i rakietowe. Zasadę działania silników poznałeś w szkole podstawowej i przypominasz z pewnością sobie, iż można dla różnych typów silników wyróżnić kilka cech wspólnych, mianowicie:

praca silników jest cykliczna co oznacza, że pewne zdarzenia np. ruchy tłoka czy otwieranie i zamykanie zaworów co pewien czas powtarzają się,

w silnikach różnych typów wykorzystana jest siła parcia gorących gazów lub par na tłok lub wirnik turbiny powodująca ich ruch,

pary czy gazy opuszczające silnik mają znacznie niższą temperaturę niż przed wykonaniem pracy.

Każdy silnik cieplny posiada trzy charakterystyczne elementy: źródło ciepła (grzejnicę), czyli miejsce gdzie wytwarzane jest ciepło, chłodnicę o temperaturze niższej od temperatury grzejnicy (otoczenie) oraz cylinder z ruchomym tłokiem, gdzie substancja robocza (para wodna lub gaz) rozprężając się wykonuje pracę (rys. 11). W każdym silniku cieplnym substancja robocza podczas jednego cyklu „pobiera” z grzejnicy ciepło Q₁, część tego ciepła zamienia na prace, a resztę „oddaje” chłodnicy (Q₂).

 

 

Rys.11. Schemat blokowy silnika cieplnego.

 

 

 

Jednym z podstawowych parametrów charakteryzujących daną maszynę cieplną jest jej sprawność, którą definiujemy następująco:

Sprawność silnika cieplnego jest równa stosunkowi pracy mechanicznej W, jaką wykonuje silnik do całkowitej energii Q₁ dostarczonej z grzejnicy.

Jeżeli sprawność oznaczymy symbolem h (eta) to możemy zapisać

W

[14] h = —— • 100%

Q₁

gdzie:

h - sprawność silnika,

W – praca wykonana w ciągu jednego cyklu,

Q₁ – pobrane w tym czasie ciepło z grzejnicy.

Ponieważ część ciepła (energii) zostaje oddana chłodnicy — oznaczymy je przez Q₂, zatem

W = Q₁ - Q₂

Wobec tego wyrażenie 14 przyjmie postać

Q₁ - Q₂

[15] h = ——— • 100%

Q₁

Z naszego punktu widzenia najlepszy byłby silnik, który w ogóle nie oddawałby ciepła. Silnik taki miałby sprawność h = 100%. Nie jest możliwe zbudowanie takiego silnika, bowiem podczas przepływu ciepła z ciała o temperaturze wyższej (grzejnicy) do ciała o Temperaturze niższej (chłodnicy) tylko część ciepła może być zamieniona na pracę.

Sprawność rzeczywistych silników cieplnych jest dość niska, od kilku procent dla maszyny parowej, do około 35% dla współczesnego wysokoprężnego silnika spalinowego (silnika Diesla). Wynika z tego, że większość energii jest oddawana chłodnicy czyli marnuje się. Zaczęto wobec tego zastanawiać się jak można zwiększyć ich sprawność.

Inżynier francuski Sadi Carnot około 70 lat temu udowodnił, że w sytuacji przedstawionej na rysunku 11 maksymalna sprawność nie może przekroczyć wartości

T₁ - T₂

[16] h = ———

T₁

gdzie:

T₁ — temperatura grzejnicy (źródła ciepła),

T₂ — temperatura chłodnicy.

Z równania 16 wynika, że największą sprawność uzyskują silniki, które mają grzejnicę o jak największej temperaturze. A chłodnicę o jak najniższej. W rzeczywistości sprawność silnika ma zwykle mniejszą wartość niż to wynika z równania 16.

 

 

Omawiając zasadę działania silnika stwierdziliśmy, że do jego działania potrzebne jest źródło, z którego czerpie się energię oraz chłodnica, do której oddawana będzie część ciepła. Na tym rozumowaniu oparte jest uzasadnienie drugiej zasady termodynamiki.

Niemożliwe jest zbudowanie silnika cieplnego, który zamieniałby stale ciepło na pracę, korzystając tylko z jednego źródła ciepła. Silnik działa tylko wtedy, gdy istnieją dwa źródła ciepła (grzejnica i chłodnica) o różnych temperaturach.

Spotykamy też inne, krótsze sformułowanie drugiej zasady termodynamiki, po prostu:

Niemożliwe jest zbudowanie perpetuum mobile drugiego rodzaju (rys. 12).

 

 

 

Rys. 12. Schemat blokowy perpetuum mobile drugiego rodzaju (silnika, który całe ciepło zamienia na pracę).

 

 

Inna jeszcze wersja tej zasady mówi, że ciepło nie może samorzutnie przepływać z ciała zimniejszego do cieplejszego.

Druga zasada termodynamiki dotyczy nie tylko silników cieplnych, lecz ma charakter powszechny. Nie tylko proces przekazywania ciepła odbywać się może jedynie w jednym kierunku — jest procesem nieodwracalnym ( nie można ogrzać się od ciała zimniejszego). W przyrodzie można znaleźć wiele przykładów zjawisk nieodwracalnych.

Spadający młot ogrzewa się, ale ogrzewanie młota nie spowoduje jego samorzutnego unoszenia się. Gdy naczynie wypełnione gazem otworzymy, gaz natychmiast wypełni równomiernie całą dostępną przestrzeń. Nie zdarzyło się jednak, że gaz ponownie zbierze się w tym naczyniu. Wiatr wieje tylko wtedy, gdy powietrze w jednym miejscu nagrzeje się mocniej a w innym słabiej.

Druga zasada termodynamiki jest spełniona nawet dla Słońca. Słońce promieniuje energię, która rozprasza się we Wszechświecie i nigdy już stamtąd w tej samej ilości nie wraca, gdyż niemożliwy jest samoczynny przypływ ciepła z powrotem od ciała o temperaturze niższej (Wszechświat) do ciała o wyższej (Słońce).

Przykładów takich możesz sam podać bardzo wiele. Ogólnie, wszystkie procesy w przyrodzie przebiegają w ściśle określony sposób: mówimy, że są one nieodwracalne, jednokierunkowe.

II zasada termodynamiki jest zasadą mówiącą o kierunkowości procesów.

Wszystkie procesy w przyrodzie przebiegają w kierunku od stanu większego uporządkowania stan mniej prawdopodobny) do stanu rozproszenia (stan bardziej prawdopodobny).

 

Pytania i zadania

1. Jak nazywamy urządzenie (maszynę), które jest zdolne do zamiany energii wewnętrznej na energię mechaniczną?

2. W silniku cieplnym praca jest równa różnicy ciepła ......................................... i ciepła ....................................................................... .

3. Od jakich wielkości fizycznych zależy sprawność silnika cieplnego?

4. Oblicz sprawność silnika parowego, który w ciągu godziny pobiera Q₁=10⁸ J ciepła z grzejnicy, a pracuje z mocą P = 5 kW.

5. Oblicz sprawność silnika cieplnego pracującego pomiędzy grzejnicą o temperaturze t₁ = 1000˚C a chłodnicą o temperaturze 100˚C.

6. Sprawność maszyny cieplnej wynosi 30 %. Jaka jest temperatura grzejnicy w tej maszynie, jeżeli temperatura wynosi 27˚C?

7. Silnik cieplny pobiera z grzejnicy 12 kJ ciepła i z tego oddaje chłodnicy. Oblicz sprawność tego silnika.

8. Jak nazwiemy urządzenie, które pobiera ze źródła ciepła energię w ilości 10 MJ i w całości zamienia ja na energię mechaniczną?

9. W jakim kierunku odbywa się zawsze proces przekazywania ciepła?

10. Jak nazywamy proces „samorzutnego” ochładzania się gorącej herbaty w szklance do temperatury pokojowej?

---

5. Ciecze

Wiesz, że ciecze są ciałami mało ściśliwymi lecz za to w dużym zakresie są idealnie sprężyste. Konsekwencją zaś tej sprężystości jest znane Ci ze szkoły podstawowej prawo Pascala, które brzmi:

Jeżeli na ciecz będącą w równowadze jest wywierane ciśnienie zewnętrzne, to ciśnienie panujące wewnątrz cieczy jest wszędzie jednakowe i równe temu ciśnieniu zewnętrznemu.

Rysunek 13 przedstawia specjalne naczynie z otworkami wypełnione cieczą. Gdy będziemy działać pewną siłą na tłoczek to stwierdzimy, że ciecz ze wszystkich otworków wypływa z taka sama prędkością. Oznacza to, że wewnątrz cieczy ciśnienie wszędzie jest jednakowe. Możemy powiedzieć, że ciśnienie wywierane przez siłę zewnętrzną jest przekazywane we wszystkich kierunkach bez zmian.

 

 

 

Rys. 13. Ciecz przez wszystkie otworki wypływa z taką sama prędkością.

 

 

Prawo Pascala znalazło wiele zastosowań. Najpopularniejsze z nich to prasa hydrauliczna i hamulec hydrauliczny. Są to urządzenia, które pozwalają na to, aby działając małą siłą zrównoważyć znacznie większą. Zasadę działania obu urządzeń poznałeś w szkole podstawowej i przypominasz sobie z pewnością, że prasa hydrauliczna może służyć do podnoszenia dużych ciężarów przy użyciu niewielkiej siły. Podobnie jest w przypadku hamulca w samochodzie — niewielka siła nacisku na pedał powoduje zatrzymanie samochodu.

 

 

 

Rys. 14. Jak zachowa się balonik pod wpływem działającej siły F?

 

 

 

Jeżeli rozpatrywać będziemy nie małe naczynia z woda lecz duże zbiorniki np. jeziora to stwierdzimy, że im głębiej się zanurzamy tym większe odczuwamy ciśnienie.

Na większych głębokościach zanurzenia panuje większe ciśnienie. Zjawisko to jest zgodne z prawem Pascala, bowiem tutaj ciśnienie zewnętrzne wywołuje ciężar cieczy. Ciężar ten zaś jest tym większy, im głębiej się znajdujemy (grubsza warstwa cieczy znajduje się nad nami). Ciśnienie takie nosi nazwę ciśnienia hydrostatycznego, a spowodowane jest grawitacją.

 

Rys. 15. Ciśnienie hydrostatyczne zależy od rodzaju i wysokości słupa cieczy.

 

 

 

W naczyniu pokazanym na rysunku 15 ciśnienie wywierane przez ciecz na dno naczynia będzie wynosiło (zgodnie z równaniem 6)

p =

lecz F = Q (ciężar słupa cieczy)

Ponieważ

Q = m • g

a masa cieczy na podstawie równania 1

m = ρ • V

stąd ciężar cieczy będzie wynosił

Q = ρ • g • V

gdzie V jest objętością cieczy i jak widać z rysunku 15 V = h • S (objętość walca).

Ostatecznie więc otrzymamy

ρ • g • h • S

p = —————

S

[17] p = ρ • g • h

gdzie:

p — ciśnienie hydrostatyczne,

ρ — gęstość cieczy,

h — wysokość słupa cieczy.

 

Ciśnienie hydrostatyczne zależy od rodzaju cieczy (jej gęstości) i wysokości słupa cieczy. Nie zależy natomiast ani od kształtu naczynia, ani od wielkości jego podstawy. Zgodnie z prawem Pascala, ciśnienie na danej głębokości jest wszędzie stałe, a siły działają na zanurzone ciało jednakowo we wszystkich kierunkach.

 

Ciśnienie cieczy powoduje powstanie sił działających na ścianki naczynia. Siły te noszą nazwę sił parcia. Siłę parcia wyrazimy jako iloczyn ciśnienia hydrostatycznego i pola powierzchni na jaką ciecz naciska

[18] F = p • S

gdzie:

F — siła tarcia,

p — ciśnienie hydrostatyczne,

S — pole powierzchni na jaka działa siła.

Parcie cieczy na dno naczynia nie musi być równe ciężarowi cieczy w naczyniu. Na tym polega tak zwany paradoks hydrostatyczny. Parcie tej samej cieczy na dna naczyń o różnym kształcie będzie takie samo, jeśli powierzchnia dna w każdym naczyniu będzie identyczna i jednakowe będą wysokości słupów cieczy w naczyniach (rys. 16).

 

 

 

Rys. 16. Paradoks hydrostatyczny.

 

 

 

Pytania i zadania

1. W naczyniu pokazanym na rysunku 14 znajduje się mały balonik wypełniony powietrzem. Co stanie się z balonikiem podczas naciskania tłoka? Skorzystaj z prawa Pascala.

2. Do dwu naczyń nalano wody. W jednym do wysokości 10 cm licząc od dna naczynia, a w drugim do wysokości 30 cm. W którym z naczyń ciśnienie hydrostatyczne na dno naczynia będzie większe i ile razy?

3. Do jednego naczynia nalano wody a do drugiego rtęci. Wysokości słupów obu cieczy są jednakowe. Czy ciśnienia hydrostatyczne na dno w obu naczyniach będą sobie równe?

4. Jak zmieni się ciśnienie wody na dno naczynia, jeżeli przelejemy ją w całości z naczynia szerokiego do naczynia wąskiego?

5. Na jakiej głębokości pod powierzchnią wody panuje ciśnienie hydrostatyczne równe ciśnieniu atmosferycznemu p₀ = 325 N/m²?

6. Dwa naczynia napełniono jedno wodą a drugie naftą. Wysokość słupa wody wynosi h₁ = 20 cm. Jaka powinna być wysokość słupa nafty, aby ciśnienie hydrostatyczne na dna obu naczyń były jednakowe? Gęstości cieczy znajdziesz w tabeli 1.

7. Sześcian o krawędzi a = 1 m zanurzono pod powierzchnią wody tak, że ściana górna znajdowała się h₁ = 2 m pod powierzchnią. Oblicz siły parcia spowodowane ciśnieniem hydrostatycznym, działające na ścianę górną i dolna tego sześcianu.

8. Naczynie w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratowej, krawędzi podstawy a = 1 m i wysokości h = 3 m zostało całkowicie wypełnione naftą. Oblicz siłę parcia działającą na dno naczynia. Dane w tabeli 1.

 

Przyjrzyj się raz jeszcze rozwiązywanemu wyżej zadaniu, w którym sześcian został zanurzony pod powierzchnie cieczy. Na dolną jego ścianę działa siła większa niż na górną. Podobne siły zgodnie z prawem Pascala działają też na boczne ściany sześcianu lecz siły te równoważą się. Natomiast siły F₁ i F₂ nie równoważą się. Wypadkowa siła F_w nazywana jest siłą wyporu.

F_w = F₂ - F₁

Wstawiając za F₂ = ρ • g • h₂ • S a za F₁ = ρ • g • h₁ • S

oraz uwzględniając, że h₂ - h₂ = h jest wysokością zanurzonego ciała a iloczyn S • h – jest objętością bryły

otrzymamy wyrażenie na siłę wyporu

[19] F_w = V_{ciała zanurzonego} • ρ_cieczy • g

Wyrażenie to nosi nazwę prawa Archimedesa, które brzmi:

Na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu skierowana pionowo do góry, o wartości równej ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

To właśnie siła wyporu skierowana przeciwnie do ciężaru ciała sprawia, że każde ciało zanurzone w cieczy wydaje się lżejsze.

Na podstawie prawa Archimedesa jesteśmy w stanie wyjaśnić zjawisko pływania ciał. Po zanurzeniu w cieczy ciała mogą tonąć, pływać całkowicie zanurzone lub pływać częściowo wynurzając się ponad powierzchnią:

ciało tonie wówczas, gdy siła ciężkości jest większa od siły wyporu (rys. 18),

 

 

Rys. 18. Ciało tonie.

Ma to miejsce wtedy, gdy gęstość ciała jest większa od gęstości cieczy, w której to ciało jest zanurzone.

ciało pływa częściowo zanurzone, gdy siła ciężkości jest zrównoważona przez siłę wyporu (rys. 19), natomiast gęstość ciała jest wtedy mniejsza od gęstości cieczy.

 

 

Rys. 19. Ciało pływa częściowo zanurzone.

ciało pływa zanurzone całkowicie, gdy gęstości ciała i cieczy są sobie równe (rys. 20).

 

Rys. 20. Ciało pływa zanurzone całkowicie.

 

jeżeli siła wyporu jest większa od ciężaru ciała (F_w > Q), to wypadkowa siła skierowana do góry powoduje ruch przyspieszony ciała i jego wynurzanie się.

Z sytuacją taką masz do czynienia gdy wepchniesz piłkę pod wodę. Ten sam warunek musi być spełniony, żeby mógł w górę wznieść się balon. Siła wyporu działająca na balon jest równa ciężarowi wypartego powietrza i musi być ona większa od całkowitego ciężaru balonu. W związku z tym balon wypełnia się gazem lżejszym od powietrza(aby zmniejszyć jego ciężar) — w praktyce jest to wodór lub ogrzane powietrze.

Jak widzisz prawo Archimedesa stosuje się nie tylko do cieczy, ale także do gazów.

 

Zjawisko równowagi cieczy w naczyniach połączonych znasz ze szkoły podstawowej. Wiesz, że powierzchnia cieczy we wszystkich naczyniach otwartych i połączonych ze sobą utrzymuje się na jednakowym poziomie (rys. 21).

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 21. Ciecz jednorodna pozostaje w spoczynku, gdy poziomy tej cieczy są we wszystkich połączonych naczyniach otwartych jednakowe.

Wyjaśnić to zjawisko można powołując się na prawo Pascala. Wypływa z niego wniosek, że gdy ciecz znajduje się w równowadze to oznacza, iż ciśnienie na tym samym poziomie w całej cieczy jest jednakowe. Ponieważ ciśnienie zależy od wysokości słupa cieczy i jej gęstości wiec możemy wywnioskować, że warunkiem równowagi cieczy jednorodnej w naczyniach połączonych jest równość ciśnień na dowolnie wybranym poziomie, a nie równość ciężarów.

 

Wodę wlano do naczynia w kształcie litery U o ramionach: jednym cieńszym a drugim grubszym (o większym przekroju). Czy poziomy wody w obu ramionach będą jednakowe czy różne? Uzasadnij odpowiedź i narysuj schematyczny rysunek.

 

Wiesz również, że w naczyniach połączonych mogą znajdować się w równowadze także różne ciecze. Jakie są warunki równowagi tych cieczy? Aby odpowiedzieć na to pytanie obliczymy ciśnienia wywierane przez słupy nafty h_n i wody h_w na poziomie A-A (rys.22).

 

 

Rys. 22. Równowaga dwóch nie mieszających się cieczy w naczyniach połączonych.

 

 

 

 

Ciśnienie słupa nafty wynosi

p_n = ρ_n • g • h_n

a ciśnienie słupa wody

p_w = ρ_w • g • h_w

 

 

Eksperyment dowodzi, że obydwa słupy cieczy wywierają na poziomie A-A jednakowe ciśnienia, więc

p_n = p_w

lecz

ρ_w • g • h_w = ρ_n • g • h_n

ostatecznie otrzymujemy warunek równowagi dwóch nie mieszających się cieczy w naczyniach połączonych

[20] ρ_w • h_w = ρ_n • h_n

Pod tym poziomem znajduje się tylko woda, a więc ciecz jednorodna. Jeśli jest ona w równowadze to spełnione jest równanie 20.

Na każdym poziomie poniższej granicy między cieczami ciśnienia w obu ramionach naczynia są odpowiednio równe. Nie można tego powiedzieć o jakimkolwiek poziomie powyżej granicy obu cieczy, ponieważ w każdym naczyniu jest inna ciecz.

 

 

Rys. 23. Rysunek do pytania PA.

 

 

 

 

 

 

 

 

Pytania i zadania

1. Jaki jest kierunek i zwrot siły wyporu?

2. Jakiej sile zawsze jest równa siła wyporu?

3. Łódź podwodna wyposażona jest w specjalny zbiornik, który można napełniać woda i opróżniać. Jak zachowuje się łódź przy napełnianiu, a jak przy opróżnianiu zbiornika?

4. Statek wypłynął z portu (woda Słodka) w morze (woda słona). Czy i jak zmieniło się zanurzenie statku?

5. Pewne ciało, które w powietrzu ma ciężar Q = 20 N, po zanurzeniu w wodzie doznaje siły wyporu Fw = 1,7 N. Oblicz gęstość tego ciała.

6. Jaka siłą należy podtrzymywać aluminiowy sześcian o krawędzi a = 0,2 m zanurzony w nafcie, aby nie dopuścić do jego zatonięcia? Gęstości ciał znajdziesz w tabeli 1.

7. Metalową kulkę o objętości V = 8 • 10^-6 m³ zawieszono na siłomierzu. W powietrzu ważyła ona Q₁ = 1,8 N, a po zanurzeniu w cieczy Q₂ = 1,6 N. Oblicz gęstość metalu, z którego zbudowano kulkę i gęstość cieczy, w której ja zanurzono.

8. Na rysunku 23 pokazano dwie nie mieszające się ciecze pozostające w równowadze w naczyniach połączonych. Na których poziomach (1,2 czy 3) ciśnienia w obu ramionach są jednakowe, a na których – różne?

9. Do naczynia połączonego w kształcie litery U nalano rtęci i wody. Słupek wody ma powierzchnię swobodną na wysokości h_w = 10 cm od granicy obu cieczy. Oblicz wysokość słupa rtęci, który równoważy słup wody.

6. Ciała stałe

O odkształceniach ciał pod wpływem przyłożonych sił uczyłeś się w szkole podstawowej. Z pewnością pamiętasz, że odkształcenia nazywamy sprężystym, gdy po ustąpieniu działającej siły odkształcenie znika. Jeśli zaś odkształcenie po ustąpieniu działającej siły nie znika, nazywamy je niesprężystym lub trwałym.

 

Ciała stałe pod względem właściwości sprężystych dzielimy na:

sprężyste — jeśli nawet stosunkowo duże siły powodują jedynie odkształcenie sprężyste (rys. 24a),

plastyczne — jeśli pod wpływem stosunkowo niewielkich sił ciała ulegają odkształceniom trwałym, ale się nie niszczą (rys. 24b),

kruche — gdy stosunkowo łatwo ciała te ulegają zniszczeniu (skruszeniu) (rys 24c).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 24. Zachowanie się pręta: a) sprężystego, b) plastycznego,

c) kruchego pod wpływem działania siły.

1 — przed zawieszeniem ciężaru,

2 — z ciężarem,

3 — po zdjęciu ciężaru.

Nasze dalsze rozważania ograniczymy do ciał doskonale sprężystych. Są to ciała, które po usunięciu działających sił odkształcających odzyskują całkowicie swoją poprzednią postać i objętość. Wprawdzie w przyrodzie nie ma takich ciał, lecz ten model jest bardzo pożyteczny, gdyż wiele ciał (szczególnie gdy siły odkształcające nie są zbyt duże) zachowuje się podobnie do ciała doskonale sprężystego.

Znajomość prawa rządzącego odkształceniami ciał sprężystych ma bardzo istotne znaczenie w technice. Nie ma maszyny czy konstrukcji budowlanej, na poszczególne elementy której nie działałyby siły powodujące odkształcenia. Umiejętność przewidywania rozmiarów tych odkształceń i stosowania odpowiednich materiałów jest gwarancją trwałości konstrukcji.

Najczęściej spotykane odkształcenia wywoływane są rozciąganiem i ściskaniem. Badano je już w wieku XVII. Największe zasługi w tym zakresie należy przypisać fizykowi angielskiemu Robertowi Hooke’owi (1635-1703). Odkrył ona na drodze doświadczalnej, że w pewnych granicach odkształcenia wielu ciał są proporcjonalne do wywołujących je czynników.

Hooke stwierdził, że

Przyrost długości jest wprost proporcjonalny do przyłożonej siły i do długości początkowej danego ciała, a odwrotnie proporcjonalny do pola powierzchni poprzecznego przekroju danego ciała.

Wyraża to następujący wzór

k • F • l₀

[21] ∆l = ————

S

gdzie:

∆l — przyrost długości ciała,

F — działająca siła,

l₀ — długość początkowa,

S — pole poprzecznego przekroju,

K – współczynnik proporcjonalności, charakterystyczny dla danego

materiału.

Aby zrozumieć zależność przedstawioną za pomocą równania 21 przyjrzyj się rysunkowi 25.

 

 

Rys. 25. Wydłużenie pręta zależy od jego przekroju poprzecznego.

 

 

Pokazano na nim wykonane z tego samego materiału (np. stali) dwa pręty o jednakowej długości początkowej. Drugi pręt (rys. 25 b) jest dwa razy grubszy od pierwszego (rys. 25 a). Aby wydłużyć je o tyle samo do grubszego pręta przyłożyć należy dwa razy większą siłę.

Wydłużenie ∆l nazywamy wydłużeniem bezwzględnym i obliczamy je następująco

∆l = l – l₀

 

Działaniu zewnętrznej siły F towarzyszy reakcja rozciąganego lub ściskanego ciała. Siła reakcji wywołana jest zaburzeniem stanu równowagi, w jakim znajdowały się cząsteczki danego ciała przed odkształceniem. Podczas rozciągania ciała pojawiają się międzycząsteczkowe siły przyciągania, a przy ściskaniu — siły wzajemnego odpychania cząsteczek. Mówimy, że wewnątrz ciała podczas odkształcenia występuje naprężenie wewnętrzne, które oznaczamy symbolem p.

Naprężenie jest to stosunek siły działającej prostopadle do pola poprzecznego przekroju ciała do wartości tego przekroju.

[22] p =

Jednostką naprężenia jest 1 Pa (paskal)

N

1 Pa = 1 ——

m²

Naprężenie wewnętrzne jest równe 1 paskalowi, jeżeli siła 1 niutona działa na powierzchnię 1 m² prostopadle do tej powierzchni.

 

Obliczając F z równania 21

∆l • S

F = ———

k • l₀

i wstawiając do równania 22 otrzymujemy:

∆l • S

———

k • l₀

p = ————

S

1 ∆l

p = — • ——

k S

1

— = E

k

Wielkość E nazywamy modułem sprężystości Younga. Uzyskamy wtedy następującą zależność

∆l

p = E • ——

l₀

gdzie:

p — naprężenie wewnętrzne,

E —moduł Younga,

∆l

—— — wydłużenie względne.

l₀

Wzór 23 znany jest jako prawo Hooke’a. Brzmi ono następująco:

Naprężenie wewnętrzne ciała jest wprost proporcjonalne do jego wydłużenia względnego.

Moduł Younga określa sprężystość ciał. Jego wartość jest równa naprężeniu, które powstałoby przy dwukrotnym zwiększeniu długości ciała. Na ogół podwojenie długości nie udaje się, ponieważ zanim to nastąpi, ciało ulega rozerwaniu. Fakt ten jednak nie zmniejsza praktycznego zastosowaniu modułu Younga, ponieważ daje nam możliwości poznania cech ciał stałych.

Tabela 3. Wartość modułu Younga dla niektórych materiałów.

Materiał Ciecz	N E = (——) m2	Materiał	N E = (——) m2
miękka guma	1 • 109	miedź	1,2 –7,8 • 1010
ołów	1,4 • 1010	stal miękka	1 • 1011
cyna	3,9 • 1010	stal twarda	2,2 • 1011
szkło	7,8 – 4,9 • 1010	wolfram	3,5 • 1011
glin	6 • 1010	iryd	5,1 • 1011

Z tabeli 3 wynika, że największy moduł Younga posiada iryd, używany do końcówek wiecznych piór. Najmniejszym modułem sprężystości wśród metali wyróżnia się ołów. Wartość modułu Younga dla stali jest wielokrotnie większa niż dla gumy. Dlatego o wiele łatwiej rozciągać gumę niż stalowy drut. Na uwagę zasługuje również wpływ technologii na właściwości sprężyste ciał, np. moduł Younga dla stali kutej jest ponad dwukrotnie większy niż dla stali lanej. Właśnie dlatego o ciałach mających dużą wartość modułu mówimy, że są twarde, a o innych — miękkie.

Ustalenie ścisłych granic stosowalności prawa Hooke’a jest bardzo trudne ze względu na duże zróżnicowanie właściwości sprężystych ciał. Stosować je można do ciała doskonale sprężystego (teoretycznie model) oraz do ciał, których właściwości są zbliżone do właściwości przypadków jednak problem stanowi ustalenie ścisłej granicy, do której ciało zachowuje właściwości sprężyste.

W praktyce każdy rodzaj materiału poddaje się specjalnym badaniom za pomocą odpowiednich urządzeń aby ustalić jego granicę sprężystości. Przykładem takiej maszyny jest zrywarka, gdzie próbka materiału poddawana jest rozciąganiu. Rysunek 26 pokazuje zależność naprężenia wewnętrznego od względnego przyrostu długości dla stali otrzymaną z badania próbki.

 

Rys. 26. Zależność naprężenia od względnego przyrostu długości.

 

 

 

 

 

Punkt P (rys. 26) określa granicę sprężystości. Do tego punktu odkształcenie jest odkształceniem sprężystym, czyli po usunięciu naprężenia ciało przyjmuje swą pierwotną długość l₀. Punkt M określa maksymalne naprężenie, jakiemu materiał może być poddany bez zniszczenia. Określa on granicę wytrzymałości materiału W.

Wytrzymałością na zerwanie W będziemy nazywali wartość naprężenia wewnętrznego, przy której zachodzi zerwanie danego materiału. Matematyczny zapis wygląda następująco

W =

Tabela 4. Wytrzymałość na rozerwanie niektórych materiałów.

Materiał Ciecz	N W = (——) m2	Materiał	N W = (——) m2
glin	16,7 – 26,4 • 107	stal twarda	37,2 –186 • 107
ołów	1,67 – 2,16 • 107	stal miękka	1,7 – 25,5 • 107
szkło	2,94 – 8,82 • 107	wolfram	412 - 686 • 107

Analizując dane z tabeli 3 i 4 można zauważyć, że wytrzymałość na zerwanie jest znacznie mniejsza niż moduł Younga tych materiałów. Oznacza to, że żadnego z tych materiałów nie da się rozciągnąć tak, aby pod wpływem przyłożonej siły długości danej próbki podwoiła się.

 

Pytania i zadania

1. Jak nazywamy odkształcenie ciała, które znika po ustąpieniu działającej siły zewnętrznej?

2. Jakie odkształcenie nazywamy trwałym?

3. Jak zmieni się wydłużenie pręta, jeżeli nie zmieniając jego długości początkowej i grubości zwiększymy dwukrotnie siłę rozciągającą?

4. Jak zmieni się wydłużenie pręta, jeżeli przy tej samej sile rozciągającej jego długość początkową zwiększymy dwukrotnie?

5. W jakich jednostkach mierzymy naprężenie wewnętrzne?

6. Na dwa pręty stalowe działa taka sama co do wartości siła zewnętrzna. Drugi pręt ma przekrój poprzeczny dwa razy większy od pręta pierwszego. Czy naprężenia wewnętrzne w obu prętach będą jednakowe?

7. Ile wynosi naprężenie wewnętrzne ciała powstające przy dwukrotnym jego wydłużeniu?

8. Dlaczego łatwiej wydłużyć gumę niż np. stalowy drut?

9. Do podnoszenia ciężaru zastosowano linę stalową o przekroju poprzecznym S = 4 mm² i długości l₀ = 5 m. Oblicz wartość maksymalnej siły, po działaniu której lina powróci do pierwotnej długości oraz wydłużenie spowodowane działaniem tej siły, jeżeli granica sprężystości p = 3 • 10 N/m².

10. Na drucie o długości początkowej l₀ = 1 m i przekroju S = 1 mm² powieszono ciężar Q = 100 N. O ile wzrośnie długość tego drutu, jeżeli moduł Younga dla miedzi E = 11 • 10¹⁰ N/m²?

11. Oblicz prace jaką należy wykonać, aby drut stalowy o długości początkowej l₀ = 1,5 m wydłużyć o ∆l = 2 cm, jeżeli jego pole poprzecznego przekroju S = 2 mm² a moduł Younga dla stali E = 1 • 10¹¹ N/m².

12. Wiedząc, że wytrzymałość druta aluminiowego na zerwanie wynosi W= 20 • 10⁷ N/m² oblicz ciężar, jaki należy powiesić na tym drucie aby uległ on zerwaniu, jeżeli przekrój poprzeczny drutu S = 2 mm².

7. Zmiany stanu skupienia ciał

W szkole podstawowej dowiedziałeś się, że materia może występować w trzech stanach skupienia. Na przykład woda występuje w postaci lodu, cieczy i pary wodnej.

Możliwe przypadki zmian stanu skupienia pokazane są na rysunku 27.

 

Rys. 27. Różne stany skupienia i ich wzajemne przemiany.

 

 

 

 

 

 

Każdy stan skupienia nazywamy inaczej stanem fazowym substancji, a przemiany jakim ulegają — przemianami fazowymi. Na rysunku 27 widzisz dobrze znane Ci przemiany, jak topnienie — krzepnięcie, parowanie — skraplanie, ale też pokazane są procesy bezpośredniego przejścia ciała stałego w lotny i odwrotnie. Noszą one nazwy odpowiednio: sublimacji i resublimacji. Analizując rysunek 27 zwróć uwagę na fakt podziału materii w stanie lotnym na dwie grupy: pary i gazy. Przemiany fazowe zachodzą tylko dla pary.

Topnieniem nazywamy proces przejścia ciała stałego w ciecz w określonej temperaturze, zależnej od ciśnienia i od rodzaju substancji.

W miarę dostarczania ciepła ciału stałemu, rośnie jego temperatura (rys. 28 — odcinek AB). Jeśli jednak osiągnie ona pewna wartość charakterystyczną dla danego ciała, dalsze dostarczanie ciepła nie powoduje już wzrostu temperatury, lecz topnienie ciała (rys. 28 — odcinek BC).

Rys. 28. Zależność temperatury ciała o budowie krystalicznej od dostarczonego ciepła.

Temperaturę tę nazywamy temperaturą topnienia. Podczas całego procesu topnienia temperatura pozostaje stała. Dopiero gdy ciało stałe całkowicie zamieni się w ciecz, przy dalszym dostarczaniu ciepła — temperatura znów rośnie (rys. 28 — odcinek CD).

Istnieją również substancje, które nie mają wewnętrznej struktury krystalicznej — są to ciała bezpostaciowe. Nie mają one określonej temperatury topnienia, a topią się w ten sposób, że stopniowo miękną (stają się bardziej plastyczne) i niepostrzeżenie zamieniają się w ciecz (rys. 29). Do grupy tej zaliczamy między innymi szkło, parafinę, wosk, tłuszcze, gumę, niektóre masy plastyczne.

Rys. 29. Zależność temperatury ciała bezpostaciowego od dostarczonego ciepła.

 

 

 

 

Zastanówmy się teraz dlaczego topnienie w przypadku ciał krystalicznych zachodzi bez zmiany temperatury i co dzieje się z ciepłem dostarczonym podczas topnienia. Odpowiedź na to pytanie daje teoria kinetyczno-molekularna budowy materii.

Gdy ogrzewamy ciało stałe, dostarczane mu ciepło powoduje przyrost energii wewnętrznej. Objawia się to zwiększeniem średniej energii kinetycznej ruchu drgającego cząsteczek, a więc i wzrostem temperatury oraz wzrostem odległości międzycząsteczkowych. Maleją więc siły oddziaływania międzycząsteczkowego.

Gdy zostanie osiągnięta temperatura topnienia energia kinetyczna cząsteczek jest już na tyle duża, a siły oddziaływania na tyle małe, że nie są w stanie utrzymać cząsteczek w ich uporządkowanych położeniach. Zaczyna się chaos. Ciało stałe przechodzi w ciecz. Dostarczana energia cieplna jest zużywana na wykonanie pracy związanej ze „zburzeniem” struktury krystalicznej.

Gdy skończy się proces topnienia, substancja w stanie ciekłym znów może się ogrzewać. Dostarczone ciepło ponownie powoduje wzrost energii wewnętrznej objawiający się wzrostem energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek, co jest równoznaczne ze wzrostem temperatury.

Proces krzepnięcia przebiega w odwrotny, kierunku. Ciecz krzepnąc oddaje ciepło otoczeniu. Z powyższych rozważań wynika, że nie zawsze podczas wymiany ciepła z otoczeniem temperatura ciała się zmienia. W procesie topnienia i krzepnięcia jest konieczne odpowiednio dostarczanie lub odbieranie ciepła, a mimo to temperatura substancji nie ulega zmianie.

Ciepło, które musimy dostarczyć aby stopić substancję zależy od rodzaju tej substancji i jej masy. Dzieląc to ciepło przez masę ciała topniejącego otrzymujemy wielkość nazywaną ciepłem topnienia.

[24] L =

gdzie:

L — ciepło topnienia,

Q — dostarczone ciepło,

m — masa substancji.

Jednostką ciepła topnienia jest 1 .

Ciepło topnienia wyraża te ilość ciepła, którą należy dostarczyć 1 kg substancji, aby ja stopić bez zmiany temperatury.

Dla danego ciała ciepło topnienia jest równe ciepłu krzepnięcia.

Tabela 5 ukazuje wyznaczona doświadczalnie temperaturę topnienia i ciepło topnienia niektórych substancji.

Tabela 5. Temperatura topnienia niektórych substancji.

Substancja	Ciepło topnienia L()	Temperatura topnienia (˚C)
rtęć	13 000	- 39
ołów	25 000	327
cyna	60 000	232
miedź	205 000	1084
żelazo	260 000	1535
lód	335 000	0
aluminium	400 000	660
wolfram	—	3370

 

Znajomość temperatury topnienia i ciepła ma duże znaczenie praktyczne. Na przykład na druciki do żarówek należy wybrać materiał o wysokiej temperaturze topnienia, by mogły się one rozżarzyć do wysokiej temperatury bez narażenia na stopienie. Materiałem najczęściej używanym na takie druciki jest wolfram patrz tabela 5). Stosunkowo duża wartość ciepła topnienia lodu jest powodem tego, że często wykorzystuje się go do celów chłodniczych (1 kg topniejącego lodu jest w stanie obniżyć temperaturę 1 kg wody aż do 80 K). Duże ciepło topnienia lodu wykorzystuje się również do sporządzania mieszanin oziębiających. Na przykład lód zmieszany z solą pozwala na uzyskanie temperatury 252 K (-21˚C).

 

Pytania i zadania

1. Aby stopić lód należy go ogrzać do temperatury 0˚C. Czy to wystarczy?

2. Czym różnią się (w kontekście tej lekcji) ciała o budowie krystalicznej od ciał bezpostaciowych?

3. Na co „zużyte” jest dostarczane ciepło podczas topnienia, skoro jego temperatura podczas tego procesu nie ulega zmianie?

4. Ile ciepła odda 1 kg wody o temperaturze 0˚C zamieniając się w lód?

5. Ile ciepła należy dostarczyć 1 kg lodu o temperaturze 0˚C go zamienić w wodę?

6. Ile ciepła należy dostarczyć aby m = 1 kg lodu o temperaturze t₁ = 10˚C zamienić w wodę o temperaturze t₂ = 20˚C?

7. Ile lodu o temperaturze t₀ = 0˚C należy wrzucić do wody, której masa t₁ = 0,25 kg a temperatura t₁ = 60˚C, aby ją oziębić do temperatury t₂ = 20˚C?

8. Z jaką prędkością powinny poruszać się naprzeciw siebie dwa kawałki ołowiu o temperaturze 54˚C, aby na skutek zderzenia mogły się całkowicie stopić?

9. Z jakiej wysokości powinna spaść bryła lodu o temperaturze 0˚C, aby w wyniku uderzenia w ziemię uległa całkowitemu stopieniu? Zakładamy, że tylko 40% energii mechanicznej bryły jest zużyte w procesie topienia.

10. Dlaczego na wiosnę pozostałe z zimy masy śniegu i lodu nie topią się gwałtownie pod wpływem padającego promieniowania słonecznego?

11. Z jakiego powodu w pobliżu zamarzającego jeziora jest cieplej niż w dalszej odległości od niego?

 

Parowaniem nazywamy proces zamiany cieczy w parę,. Parowanie jest procesem powierzchniowym i zachodzie w każdej temperaturze. Jego szybkość zależy temperatury, rodzaju cieczy, cisnienia, wielkości powierzchni swobodnej cieczy a także od warunków zewnętrznych, takich jak ruch powietrza nad powierzchnia parującą.

Aby cząsteczki cieczy mogły zamienić się w parę muszą oderwać się od powierzchni cieczy. Zamieniają się w parę te cząsteczki, które na skutek zderzeń z innymi cząsteczkami mają w danej chwili większą energię. Jeżeli cieczy nie dostarczymy energii (ciepła), to parowanie odbywać się będzie kosztem własnej energii kinetycznej cząsteczek i temperatura cieczy będzie się obniżać. Aby parowanie odbywało się w stałej temperaturze musimy cieczy dostarczać ciepło. Ilość tego ciepła przypadająca na jednostkę masy cieczy nazywamy ciepłem parowania.

[25] R =

gdzie:

R — ciepło parowania,

m — masa cieczy,

Q — ilość dostarczonego ciepła.

Jednostką ciepła parowania jest 1 .

Ciepło parowania wyraża tę ilość ciepła, którą trzeba dostarczyć 1 kg cieczy, aby zamienić ją w parę bez zmiany temperatury.

Ciepło parowania zależy od temperatury i jest tym większe, im temperatura jest niższa.

Szczególnym przypadkiem parowania cieczy jest wrzenie. Zachodzi ono w odróżnieniu od „zwykłego” parowania w całej objętości cieczy i w określonej, stałej temperaturze zależnej od ciśnienia i rodzaju cieczy. Temperaturę te nazywamy temperaturą wrzenia.

Podczas wrzenia w wydobywających się z wnętrza cieczy pęcherzykach powstaje para wodna tzw. para nasycona. Określamy ją jako parę, która w danej temperaturze ma największą gęstość i wywiera największe możliwe ciśnienie na ścianki naczynia. Wrzenie rozpoczyna się wówczas, gdy ciśnienie pary nasyconej wewnątrz pęcherzyków będzie równe ciśnieniu zewnętrznemu — pęcherzyki wówczas wypływają na powierzchnię cieczy.

Temperatura wrzenia wody pod ciśnieniem 1013 hPa wynosi 100˚C. Wzrost ciśnienia nad wodą spowoduje jej wrzenie w wyższej temperaturze, co ma zastosowanie w szybkowarach. Natomiast zjawisko odwrotne obserwujemy gotując wodę w górach — woda wrze tam w niższej temperaturze, bo mniejsze jest ciśnienie zewnętrzne. Wartości temperatury wrzenia i ciepła parowania dla różnych substancji pod ciśnieniem p0 = 101 325 Pa znajdziesz w tabeli6.

Substancja	Ciepło parowania R()	Temperatura wrzenia t(˚C)
woda	2 258 000	100
alkohol etylowy	1 100 000	78
wodór	467 000	-253
azot	201 000	-196
eter	98 500	35
aceton	98 000	57
rtęć	11 800	357

 

Skraplanie jest procesem odwrotnym do parowania. Podczas skraplania para zamienia się w ciecz oddając ciepło dokładnie w takiej samej ilości, jaka pobrała w czasie parowania. Proces ten przebiega szybko, gdy parę oziębi się lub zwiększy ciśnienie. Z pewnością spotkałeś się ze skraplaniem pary wodnej na zimnych przedmiotach np. szybie kuchennej czy kafelkach w łazience. Zjawisko to jest szczególnie dokuczliwe dla noszących okulary.

Czy wobec tego gazu nie można skroplić?

Bardzo długo tak uważano i nawet nazwano je „gazami trwałymi”. Dopiero dnia 9 kwietnia 1883 roku w Krakowie na Uniwersytecie Jagiellońskim dwaj polscy uczeni: Zygmunt Wróblewski (1845-1888) i Karol Olszewski (1864-1915) jako pierwsi skroplili gaz — uzyskali ciekły tlen i azot.

Cała tajemnica tkwi w tym, że gaz jest tą częścią fazy lotnej, która nie daje się skroplić, gdy jest ogrzana powyżej odpowiednio wysokiej temperatury, zwanej temperaturą krytyczną. Ta sama substancja po ochłodzeniu poniżej temperatury krytycznej nosi nazwę pary i może ulec skropleniu czy resublimacji.

 

Tabela 7. Temperatury niektórych substancji.

Substancja	Temperatura krytyczna (˚C)
powietrze	-140,8
dwutlenek węgla	31,2
hel	-267,9
wodór	-239,9
azot	-147,1
tlen	-118,8
woda	-374,0

 

Temperatury krytyczne gazów wchodzących w skład powietrza są niezwykle niskie jak na warunki ziemskie (tabela 7) i właśnie dlatego bardzo długo nie udawało się uzyskać ciekłego tlenu czy azotu.

 

 

Sublimacją nazywamy bezpośrednie przejście ciała stałego w stan lotny z pominięciem stanu ciekłego. Jest to inaczej parowanie ciała stałego. Sublimacja zachodzi w każdej temperaturze i na całej powierzchni ciała. Parowanie większości ciał stałych w normalnych warunkach zachodzi w niewielkim stopniu. Wyjątek stanowią: zestalony dwutlenek węgla, czyli tak zwany „suchy lód”, naftalina, jod. Sublimować można również lód co ma szczególnie duże znaczenie w krajach podbiegunowych, gdzie duże masy śniegu wyparowują nawet w temperaturze poniżej 0˚C.

Para może przejść bezpośrednio w fazę stałą z pominięciem fazy ciekłej. Proces ten nazywamy resublimacją. Zamarzająca na zimnych szybach para wodna tworzyć może różnorodne, piękne kształty.

 

Pytania i zadania

1. Z jakiego powodu jest nam zimno gdy wychodzimy z kąpieli np. w morzu?

2. Dlaczego temperatura parującej wody w szklance nie obniża się, chociaż nie dostarczamy wodzie ciepła?

3. Czym w zasadniczy sposób różni się parowanie od wrzenia?

4. Ile ciepła należy dostarczyć 1 kg wody o temperaturze 100˚C aby zamienić ją w parę wodną?

5. Ile ciepła należy dostarczyć, aby m = 2 kg o temperaturze początkowej t₁ = 20˚C zamienić w parę o temperaturze t₂ = 100˚C?

6. Ile ciepła potrzeba do zamiany 0,2 kg eteru o temperaturze t₁ = 0˚C w parę o temperaturze t₂ = 35˚C?

7. Na czym polega skraplanie?

8. Do naczynia zawierającego m₁ = 1 kg wody o temperaturze t₁ = 10˚C wpuszczono pare wodną o temperaturze t₂ = 100˚C. Oblicz masę pary wodnej, jeżeli końcowa temperatura wody wyniosła t₃ = 20˚C.

9. Do naczynia zawierającego bryłę lodu o temperaturze t₀=0˚C wpuszczono parę wodną o masie m₂= 0,2 kg i temperaturze t₂=100˚C. Oblicz masę lodu, jeżeli pod wpływem pary cały lód się stopił.

10. W jakich warunkach para wodna może stać się gazem?

11. Co należy zrobić aby skroplić gaz?

12. Jaki proces nazywamy sublimacją?

13. Naftalina stosowana przez nasze babcie po pewnym czasie „znikała” z szafy. Wytłumacz zjawisko.

 

 

 

 

 

 

 

Przykłady prac kontrolnych

 

Praca kontrolna Nr 1.

Ciśnienie gazu w temperaturze t₁=7^˚ C wynosi p₁=2·10⁵Pa a po ogrzaniu

gazu ciśnienie jego wzrosło do p₂=6·10⁵Pa. Oblicz temperaturę do jakiej

ogrzano gaz.

Oblicz sprawność idealnego silnika cieplnego, którego źródło ciepła ma

temperaturę t₁=1500^˚ C, a temperatura chłodnicy t₂=400^˚ C.

Do naczynia nalano rtęci a następnie oliwy. W naczyniu zanurzono kulkę,

która pływa do połowy zanurzona w rtęci. Oblicz gęstość materiału kulki.

Potrzebne stałe fizyczne znajdziesz w module.

Stalowy pręt powinien udźwignąć ciężar Q=500 N. Przy jakim przekroju

pręt jeszcze nie ulegnie trwałemu odkształceniu, jeżeli graniczne naprężenie żelaza p=1.8·10⁸ N/m²?

Ile ciepła należy dostarczyć aby 1 kg lodu o temperaturze t₁= -10^˚ C zamienić w parę wodną o temperaturze t₂=100^˚ C ? Potrzebne stałe fizyczne znajdziesz w module.

 

Praca kontrolna Nr 2.

Objętość gazu w temperaturze t₁=7^˚ C wynosi v₁=20 dm³. Oblicz objętość jaką zajmie ten gaz gdy temperatura wzrośnie do t₂=17^˚ C.

Moc silnika wysokoprężnego o sprawności h =30 % wynosi P=100 kW. Ile ciepła pobiera ten silni ze źródła w czasie t=1 s?

Ciężarek ołowiany, zanurzony w cieczy o nieznanej gęstości ma ciężar Q=0.9 N. Ten sam ciężarek w powietrzu ma ciężar Q= 1 N. Oblicz gęstość cieczy, jeżeli gęstość ołowiu wynosi =11 300 kg/m^2..

Stalowy pręt o długości l₀=1,5 mm przy obciążeniu Q=500 N nie powinien wydłużyć się więcej niż o 0,3 mm. Jaki ma być przekrój pręta? Moduł Younga dla stali znajdziesz w tablicach fizycznych.

Do naczynia zawierającego mieszaninę wody o masie m₁=1 kg i lodu o masie m₂=0,5 kg w temperaturze t₁=0^˚ C wpuszczono parę wodną o temperaturze t₂=100^˚ C. Oblicz masę pary wodnej, jeżeli końcowa temperatura wody w naczyniu wyniosła t₂=10^˚ C.

 

 

 

Klucz odpowiedzi do ćwiczeń

PS.1. Aby obliczyć masę blachy musimy znać jej objętość V = a • b • c =

2 m • 4 m • 0,02 m = 0,016 m³.

Masa blachy m = ρ • V = 43,2 kg.

m₁

PS.2. Objętość wody V₁ = —— = 0,01 m³

ρ₁

m₂

a rtęci V₂ = —— = 0,0007 m³

ρ₂

PS.3. Związek pomiędzy średnia energią kinetyczną i temperaturą dla

m₁ • v₁² m₂ • v₂²

wodoru ma postać ———— = c • T₁, a dla tlenu ———— = c • T₁.

2 2

m₁ • v₁² T₁

Po podzieleniu stronami obu równań otrzymujemy ———— = ——.

m₂ • v₂² T₂

Ponieważ średnie prędkości cząsteczek obu gazów są jednakowe a masa cząstki tlenu jest osiem razy większa od masy cząstki wodoru

m₁ T₁

(m₂ = 8 • m₁) otrzymujemy ——— = ——. Stąd T₂ = 8 • T₁.

8 • m₁ T₂

m₁ • v₁² m₂ • v₂²

PS.4. Dla wodoru ———— = c • T, dla azotu ———— = c • T. Stąd

2 2

mamy m₁ • v₁² = m₂ • v₂² . Ponieważ m₂ = 7 • m₁ (masa cząsteczki

azotu jest 7 razy większa od masy cząstki wodoru) stąd

otrzymujemy m₁ • v₁² = 7 • m₁ • v₂² = √7 • v₂.

PS.5. —∆U = Q – W stąd W = Q + ∆U = 1200 J.

PS.6. Q = 0 czyli ∆U = W. Ponieważ W < 0 więc ∆U < 0.

PS.7. Q = m • c • ∆T = 504 J.

PS.8. 0,5 • m • g • h = m • c • ∆T= ≈ 1 K.

PS.9. Z równania bilansu cieplnego m₁ • c • (T_k – T₁) = m₂ • c • (T₂ – T_k)

m₁ • c • (T_k – T₁)

otrzymujemy m₂ = ——————— = 2,5 kg.

(T₂ – T_k)

PS.10. W obu zbiornikach ciśnienie będzie jednakowe, bowiem równość temperatur oznacza jednakowe średnie energie kinetyczne cząsteczek obu gazów (cząsteczki wodoru o mniejszej masie niż cząsteczki azotu będą miały większą prędkość niż cząsteczki azotu, lecz E_k,śr dla obu gazów będzie taka sama).

 

 

PS.11. Przekształcając równanie stanu gazu doskonałego obliczamy

p₂ • V₂ • T₂

T₂ = ————— ale p₂ = 3 • p₁ a V₂ = 2 • V₁. Otrzymujemy więc

p₁ • V₁

3 • p₁ • 2 • V₁ • T₁

T₂ = ———————— = 6 • T₁.

p₁ • V₁

PS.12. Z równania Clapeyrona obliczamy liczbę moi azotu N = = 40 moli. Ponieważ masa jednego mola azotu wynosi 28 g, więc m = 40 moli. 28 = 1,12 kg.

p₁ • V₁

PS.13. Z równania przemiany izotermicznej mamy p₂ = ——— ale V₂ =

V₂

V₁ + V = 50 dm³ jest objętością, w jakiej znajduje się gaz po

połączeniu obu zbiorników, więc p₂ = 2 • 10⁵ Pa.

p₁ • V₁

PS.14. p₂ = ——— lecz V₂ = V₁ - ∆V = 5 litrów więc p₂ = 5 • 10⁵ Pa.

V₂

V₂ • T₁

PS.15. Z równania przemiany izobarycznej mamy T₂ = ——— = 450 K.

V₁

Stąd ∆T = T₂ – T₁ = 150 K.

V₁ • T₂

PS.16. Ponieważ p = const, więc V₂ = ——— = 10,6 dm3.

T₁

Przyrost objętości ∆V = V₂ – V₁ = 0,6 dm³.

p₁ p₂

PS.17. Z prawa Charles’a mamy —— = —— lecz ∆p = p₂ – p₁, skąd

T₁ T₂

p₁ p₁ +∆p

p₂ = ∆p + p₁. Otrzymujemy więc —— = ———— a stąd po

T₁ T₂

∆p • T₁

przekształceniach mamy p₁ = ———— = 3 • 10⁵ Pa.

T₂ – T₁

Ps.18. Z prawa przemiany izochorycznej otrzymujemy

p₁ • T₂

p₂ = ——— = 1,36 • 10⁵ Pa.

T₁

PS.19. Jeżeli tłoczek pompki rowerowej przesuwać będziemy bardzo wolno, by powietrze w pompce nadążało oddawać ciepło otoczeniu, wtedy powietrze będzie ulegało przemianie izotermicznej, czyli ∆U = W – Q = 0.

Podczas szybkiego ruchu tłoczka powietrze nie zdąży oddać ciepła otoczeniu i jego temperatura wzrasta — powietrze ulega przemianie adiabatycznej ∆U = W i ∆U > 0 bo W > 0.

T₁ – T₂

PS.20. h = ————Wskazówka: stopnie w skali Celsjusza zamień na

T₁

stopnie w skali Kelvina.

T₁ – T₂ T₂

PS.21. Z równania h = ——— otrzymujemy T₁ = ————— = 428 K Þ

T₁ h

1 - ——

100%

t₁ = 155ºC.

Q₁ – Q₂

PS.22. h = ———— • 100% ale Q₂ = • Q₁ = 8 kJ, więc h =8 kJ, więc h =

Q₁

33%. p

PS.23. Ciśnienie hydrostatyczne p = ρ • q • h skąd h = ——— ≈ 10 m.

ρ • g

PS.24. Ciśnienie hydrostatyczne słupa wody p1 = ρ1 • q • h1 a nafty p2 = ρ2 •

ρ₁ • h₁

g • h2. Lecz p1 = p2 skąd otrzymujemy h2 = ——— = 25 cm.

ρ₂

PS.25. F = p • S ale ciśnienie p = ρ • q • h, a pole powierzchni S = a2. Otrzymujemy więc p = ρ • q • h • a2 = 24 000 N.

PS.26. Ciężar sześcianu Q = m • g = p1 • g • V = 216 N a siła wyporu F_w = ρ2 • g • V = 64 N, gdzie ρ1 – gęstość aluminium a ρ2 – gęstość nafty. Siła podtrzymująca F = Q – F_w = 152N.

PS.27. F_w = Q₁ – Q_{2 =} 0,2 N. Ponieważ siła wyporu F_w = ρ • g • V stąd

F_w kg

ρ₁ =——— =2500 —— (gęstość cieczy). Natomiast gęstość materiału

g • V m³

Q₁ kg

kulki ρ₂ = ——— = 22 500 —— (patrz zadanie PS.26).

g • V m³

h_w • ρ_w

PS.28.hw • ρ_w = h_r • ρ_r stąd h_r = ——— ≈ 0,7 cm.

ρ_r

k • F • l₀ 1 Q • l₀

PS.29. ∆l = ———— ale K = — i F = Q więc ∆l = ——— = 0,9 mm.

S kg E • S

PS.30.W = E_śr • ∆l. Ponieważ siła rosnie od zera proporcjonalnie do wydłużenia drutu i osiąga maksymalną wartość dla ∆l = 2 cm, więc

F_max 1 ∆l • E • S 1 E • S

średnia siła F_śr = —— = — • —————, Stąd W = — • —— • ∆l² =

2 2 l₀ 2 l₀

= 26,6 J.

PS.31. W = stąd F = Q = W • S = 400N.

PS.32. Ciepło oddaje woda do której wrzucono lód, więc Q₁ = m₁ • c_w • (T₁ – T₂). Pobiera natomiast ciepło lód, który najpierw się topi a następnie woda powstała z lodu ogrzewa się do temperatury T₂, więc Q₂ = m₂ • L + m₂ • c_w • (T₂ – T₀).

Z równania bilansu cieplnego mamy Q₁ = Q₂, czyli m₁ • c_w • (T₁ – T₂)=

m₂ • L + m₂ • c_w • (T₂ – T₀). Ostatecznie

m₁ • c_w • (T₁ – T₂)

m₂ = ————————— = 0,1 kg.

L + c_w • (T₂ – T₀)

PS.33. Ponieważ temperatura ołowiu jest jego temperaturą topnienia, więc cała dostarczona energia mechaniczna (kinetyczna) w wyniku zderzenia spowoduje stopienie ołowiu.

m • v² m

——— = m • L skąd v = √2 • L ≈ 70 — .

2 s

PS.34. Energia ciężkości E_p = m • g • h (tylko 45%) zostanie zamieniona na energię wewnętrzną, co spowoduje stopnienie bryły lodówki. Możemy więc zapisać 0,4 • m • g • h = m • L skąd h = = 83 750 m = 83,75 km.

PS.35. Ponieważ temperatura wrzenia eteru wynosi 35˚C, więc aby zamienić eter w parę należy dostarczyć tyle ciepła, aby eter doprowadzić do temperatury wrzenia i dalej dostarczyć ciepło do całkowitego wyparowania Q = m • c • (T₂ – T₁) + m • R = 36 150 J.

PS.36. Q_oddane = m₂ • R + m₂ • c_w • (T₂ – T₀) — oddaje ciepło para wodna skraplając się, a następnie woda powstała z pary oziębia się do temperatury t₀ = 0˚C. Q_pobrane = m₁ • L — lód pobiera ciepło i tylko się topi. Z bilansu cieplnego wynika, że

m₁ • L = m₂ • R + m₂ • c_w • (T₂ – T₀) skąd

m₂ • R + m₂ • c_w • (T₂ – T₀)

m₁ = ———————————— ≈ 1,6 kg.

L